插值逼近是用简单的可计算函数对一般函数的逼近，并进而考虑逼近的程度和如何刻画被逼近函数本身的特性。由于插值多项式结构比较简单，又易于进行数值计算，所以插值逼近在分析数学中早已成为一个基本且常用的工具。无论在理论研究方面，还是在实际应用中，插值逼近都占有非常重要的地位。 本文共分四章，主要讨论了函数f(x)=|x|α和fαλ(x)={xα,0≤x≤1λ|x|α,-1≤x＜0在等距结点上所构成的Lagrange插值多项式序列的发散性，以及插值多项式对函数|x|α的逼近。 第一章：讨论了|x|α型函数在等距结点上的Lagrange插值多项式序列的收敛性质。2000年，M.Revers曾经猜测对于所有的α＞0(除去α是偶整数)，|x|α的Lagrange插值序列{In(f，X，x)}∞n=0在区间(-1，1)上任何点处都发散。由于α越大，|x|α的光滑性越好。因此M.Revers的猜测对于α＞1是有意义的。本章对|x|α(0＜α＜2)构造了一种新的插值多项式，使其在区间(-1，0)∪(0，1)上任何点处都发散。 第二章：讨论了函数fαλ(x)={xα,0≤x≤1λ|x|α,-1≤x＜0在等距结点上所构成的Lagrange插值多项式序列的收敛性质。M.Revers证明了当n是偶数时，|x|α(0＜α≤1)的Lagrange插值序列在区间(-1,1)上任何点处都发散。M.Revers曾问，当n是奇数时，是否有类似的结论。本章讨论了n是奇数时Lagrange插值的性质。证明了除了零点和至多一个λ以外，函数fαλ(x)(0＜α≤1)的插值多项式序列在区间(-1，1)上任何点处都发散。特别地，当α=1时，由于f1-1(x)=x，可推出limn→∞｜L2n-1(｜x｜，E，x)｜=∞，()x∈(-1，1)，x≠0。即对α=1，我们正面回答了M.Revers的问题。 第三章：讨论了函数|x|α(1＜α＜2)基于等距结点的Lagrange插值序列Ln(f，·)在零点的收敛速度。本章推广了M.Revers关于函数|x|α(0＜α≤1)基于等距结点的Lagrange插值序列Ln(f，·)在零点的收敛速度的结果，证明了当1＜α＜2时Ln(f，·)在零点的收敛速度为O(n-α)，证实了M.Revers的猜测在1＜α＜2时的正确性。 第四章：讨论了以Chebyshev多项式的零点为插值结点组的Lagrange插值多项式序列对函数|x|α的逼近。M.Revers基于Lagrange插值，研究了当α∈(0，2/3]∪{1}时具有最佳逼近度的多项式的构造问题。2004年，此结果被推广到更一般的0＜α≤1的情况。本文发现了一种新的插值方法，给出的逼近优于原有的结论。