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变分法是通过将微分方程边值问题化为变分问题来证明解的存在性.以及多重性，并且是求近似解的方法之一，临界点理论作为它的理论基础.文章就是利用变分法来展开对两个不同的椭圆微分方程，即带有临界指数的双调和半线性椭圆方程和带有p-拉普拉斯算子的拟线性椭圆方程的研究. 本文着重对以下带有临界指数的半线性椭圆方程{△2u-μu/|x|4=|u|2*-2u+λ|u|γ-2u,inΩ，(1)u=0，on(a)Ω，进行研究.这里2*=2N/N-4是Sobolev临界指数，0∈Ω(∈)RN(N≥5)是光滑边界的有界区域.1≤γ＜2，且0＜μ＜μN,p=(N(N-4)/4)2.我们通过使用Ekeland变分原理，通过建立极值函数后进行估计从而说明当λ取不同值时解的存在性及多重性. 同时对带有p-拉普拉斯算子的拟线性椭圆方程{△2pu-μ|u|p-2u/|x|2p=f(x)u-q+λW(x)uγ，inΩ{0}u(z)＞0，inΩ{0}(2)u=△u=0，on(a)Ω也进行了深入探讨.这里的0∈Ω(∈)RN(N≥5)是光滑边界的有界区域，0＜μ＜μN，p=((p-1)N(N-2p)/p2)p以及0＜q＜1＜γ＜p*-1，以及p*=Np/N-2p是Sobolev临界指数.f(x)＞0和W(x)是正测度集合{x∈Ω:W(x)＞0}的给定函数.我们通过引入Nehari流形和集中紧性原则，运用变分法说明方程的多重解并且对该方程进行极值的一致估计.