本文主要包括运用李对称、离散对称分析、B(a)cklund变换等方法寻求几类孤子方程的精确解，孤子方程的伪球面推导以及孤子方程在海洋大气中的应用等几部分内容。第一章主要概述了孤子理论的历史背景、求解的基本方法及其应用。第二章介绍了李对称与离散对称方法求解孤子方程的一般性理论，并以无粘Burgers方程为例，运用此理论推导出了该方程的8个无穷小生成元和2个离散对称，进而求出了该方程的一系列新的孤子解。此方法也可以被用来求解其他的孤子方程。第三章通过构造两个度规张量场获得了两个伪球面，并推出了Sinh-Gordon方程与椭圆Sine-Gordon方程。这两个著名的孤子方程是首次通过这种方法被获得。同时利用B(a)cklund变换和非线性叠加公式得到了Sinh-Gordon方程的单孤子解、双孤子解等，并运用Matlab软件得到了解的图像，类似的椭圆Sine-Gordon方程的精确解也能被获得。第四章研究了孤子理论在海洋大气科学中的应用。从地球物理流体动力学中的准地转位涡方程出发，通过摄动方法和时空伸长变换，导出了描述孤立波振幅的孤子方程。依据此方程分析了孤立波质量、动量以及能量守恒原理并通过对方程进行数值模拟讨论了非定常外源影响下孤立波的生成演化规律。