【摘 要】
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无限可分矩阵的研究不仅丰富了矩阵的理论内容,而且在复分析、傅里叶分析和概率论等分支都有所应用。极大矩阵和极小矩阵作为特殊矩阵,不仅为无限可分矩阵提供了更多例子,它
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无限可分矩阵的研究不仅丰富了矩阵的理论内容,而且在复分析、傅里叶分析和概率论等分支都有所应用。极大矩阵和极小矩阵作为特殊矩阵,不仅为无限可分矩阵提供了更多例子,它们自身的性质也值得研究。本文在这个基础上研究了极大矩阵和极小矩阵的相关问题。具体工作如下:首先,将极大矩阵M（n）和极小矩阵MIN（n）推广到分块极大矩阵M（n）和分块极小矩阵M（n）,通过次转置运算给出二者之间的联系:分块极大矩阵的次转置TM（n）为分块极小矩阵,同时证明了M（n）～TM（N）,将M（N）的相关问题等价地转换为M（n）的问题。其次,利用给出的M（n）合同于分块对称三角矩阵的分解公式,得到了M（n）的行列式、逆和特征多项式;利用切比雪夫多项式和对称三对角矩阵行列式的特点彻底得出了等差极大矩阵M（n,d）特征多项式的一般表达式;利用切比雪夫多项式求出和构造了等差极大矩阵M（n,2）和M的特征值和特征向量,并进一步给出了矩阵的谱分解和幂。紧接着,给出了极大矩阵和极小矩阵的正定和无限可分的充要条件,作为相应的推论,得到了其他特殊的无限可分矩阵;研究了极大矩阵与M矩阵之间的联系:正定的极大矩阵作为逆M矩阵,在Hadamard积下是封闭的;还探讨了极大矩阵的全非负性;给出了一个一般矩阵无限可分的必要条件,并借此讨论了一般的对称三对角矩阵的无限可分性。最后,对文章工作进行了总结,并提出了问题和猜想。
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