【摘 要】
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整数分拆理论是组合数学与数论的前沿课题之一,众多知名学者在这一领域做出了杰出的贡献,如美国科学院院士Andrews教授.本文主要研究了奇数部分不重复的整数分拆的M2秩与theta函数的截断和.主要工作如下:2002年,Berkovich和Garvan在Dyson工作的基础上提出了奇数部分不重复的整数分拆的M2秩.我们令N2（a,M,n）表示n的奇数部分不重复的整数分拆中M2秩为模M余a的分拆的数量
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整数分拆理论是组合数学与数论的前沿课题之一,众多知名学者在这一领域做出了杰出的贡献,如美国科学院院士Andrews教授.本文主要研究了奇数部分不重复的整数分拆的M2秩与theta函数的截断和.主要工作如下:2002年,Berkovich和Garvan在Dyson工作的基础上提出了奇数部分不重复的整数分拆的M2秩.我们令N2（a,M,n）表示n的奇数部分不重复的整数分拆中M2秩为模M余a的分拆的数量.Lovejoy,Osburn和Mao证明了一系列M2秩的模3,5,6和10的等式和不等式.在第二章中,利用Appell-Lerch和的一些性质,我们建立了当0≤a≤7时,N2（a,8,n）的生成函数,并由此获得了奇数部分不重复的整数分拆的M2秩的模8的等式和不等式.特别地,我们建立了N2（a,8,n）的差分的生成函数与8阶mock theta函数的关系.2012年,Andrews和Merca建立了Euler的五角数定理的一个截断和公式.他们的工作吸引了很多数学家来研究theta函数恒等式的截断和.Guo和Zeng研究了由高斯证明的另外两个经典的theta函数恒等式的截断和公式.第三章中,我们分别从分析和组合两个方面建立了上述三个经典的theta函数恒等式新的截断和公式.作为结果的推论,我们得到了包含普通分拆函数、上划线分拆函数和奇数部分不重复的分拆函数的无穷族的线性不等式.这些结果强于由Andrews和Merca、Guo和Zeng分别建立的关于普通分拆函数和上划线分拆函数的不等式.在第四章中,利用Rogers-Fine等式,我们给出了一个普通分拆函数的截断和的组合解释,回答了Merca提出的一个公开问题.在此基础上,我们证明了一个新的不等式,该结果蕴含了由Andrews和Merca证明的不等式.最后,我们对全文进行了总结,并展望了后续研究工作.
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