论文部分内容阅读
1908年,德国数学家Hilbert证明了如下的不等式[1]:设an,bn≥0(n∈N),且0<∞∑n=1a2n<∞,0<∞∑n=1b2n<∞,则∞∑n=1∞∑n=1anbm/n+m<Π(∞∑n=1a2n∞∑n=1b2n)1/2其中常数因子π是最佳值.
1925年,Hardy引入一对共轭的参数,并把Hilbert不等式加强为一般形式[1].我们把此类的不等式统称为Hilbert型不等式[1-4].从此以后,Hilbert型不等式理论的研究非常活跃.陆续地,诸多文献丰富和发展了这个重要的Hilbert型不等式理论[1-20].作为数学工具,Hilbert型不等式在众多领域中有着十分重要的作用.
1991年,大连理工大学的徐利治先生首先运用权函数的方法Hilbert型不等式的研究,得到了Hilbert型不等式的加强形式[5].
最近,杨必成教授得到了一般-λ齐次核的Hilbert型不等式(如见[25,26]):设p,r>1,1/p+1/q=1,1/r+1/s=1,0<λ<min{r,s},an,bn≥0(n∈N),且0<∞∑n=1n(p-1)(1-λ)apn<∞,0<∞∑n=1n(q-1)(1-λ)bqn<∞,则∞∑n=1∞∑m=1(I)n(m/n)ambn/mλ-nλ<[Π/λsin(Π/p)]2{∞∑n=1n(p-1)(1-λ)apn}1/p{∞∑n=1n(q-1)(1-λ)bqn}1/q其中常数因子[Π/λsin(Π/p)]2是最佳值.设r>1,1/r+1/s=1,0<λ,μ≤1,n∈Z+,本文引入带有参数的权函数:wt(n;λ,μ)=∞∑m=1(I)n(mλ/nμ)/mλ-nμ(nμ/mλ)1/tmλ-1(t=r,s).
我们首先改进了级数形式的Hilbert型不等式原有结果,得到了较为一般的结论,其次,在新的权函数wt(n;λ,μ)下,研究了级数形式的Hilbert型不等式问题,得到了几个Hilbert型不等式,并改进了已有文献的部分结论.