图论最早产生于著名的哥尼斯堡七桥问题，发展至今已有两百多年的历史.图的染色理论发源于四色问题，是图论中重要的一个分支.它在最优化，计算机理论，网络设计等领域都有重要的应用.本文主要研究了图的全染色、点可区别全染色与度之幂和的问题.　　 本文所考虑的都是简单的，无向的和有限的图.令G=(V,E)是一个图，对一个点v∈V(G)，令NG（v）是v在图G中的邻点集，dG（v）=|NG（v）|是v点的度数.图G的最大度和最小度分别用△(G)和δ(G)表示.为方便起见，令△=△(G)和δ=δ(G).　　 图G的k-全染色是指用k种颜色k(1，2,…，k)对V(G)∪E(G)中的元素进行着色，使得相邻的或者相关联的两个元素染不同的颜色.图G的所有k-全染色中的最小正整数k称为G的全色数，记为x″(G).关于图的全染色问题，在20世纪60年代，Vizing和Behzad分别提出全染色猜想(TotalColoringConjecture)猜想:对任意图G，△+1≤x″(G)≤△+2.这个猜想对于△≤5的一般图都成立.对于平面图只有△=6还未证明此猜想是否成立.随着研究的深入，人们发现很多图的全色数不仅满足全染色猜想，还能取到相应的下界，也就是说x″(G)=△+1.目前，对△≥9的平面图G，已经证明了x″(G)=△+1.对于4≤△≤8的平面图，也未找到非(△+1)-全可染的例子.于是王应前等人猜想:任何最大度至少为4的平面图是(△+1)-全可染的.本文第二章中对平面图的全染色做了研究并得到了三个相关结果:(1)对于△≥8的平面图G，若任何6-圈至多只含一条弦或任何两个弦6-圈不相邻，则x″(G)=△+1;(2)若对平面图G的任何7-圈至多含两条弦且△≥8，则x″(G)=△+1;(3)对于△≥7的平面图G，若任何两个弦5-圈不相交，也就是说，G中的每个点v至多只关联一个弦5-圈，则x″(G)=△+1.　　 图G的k-点可区别全染色是指在用k种颜色对图G进行正常的全染色的基础上，同时使得任意两点的点及其关联边所染色集合不同.图G的k-正常点可区别全染色中的最小正整数k称为G的可区别全色数，记为xvt(G).本文讨论了一些分裂图xvt(K2n+1E(Km))(n≥4，m≥3)的点可区别全色数，并证明若n≥[(m+1)2/2]+1，则xvt(K2n+1E(Km))=2n+3.　　 图G的度之幂和定义为图G中所有点的度的k次幂的和，∑k(G)=∑v∈V(G)dkG(v)，记为∑k(G)，其中k是一个正整数.显然，对任意图G，∑1(G)=2|E(G)|.本文证明了:对任何图G（包括平面图，1-平面图，t-退化图，系列平行图和外平面图等），若满足|E(G)|≤p|V(G)|-q且△(G)≥2p，中p和q都是正整数，则有∑k(G)≤(2p-δ)△k+(△-2p)δk(|V(G)|-2q/2p-δ）+2q/2p-δ.