本文研究超音速流经过尖锐楔状物体时产生的跨音速斜激波的非稳定性问题。　　当超音速气流在经过楔状障碍物时将自然产生激波。激波的形成机制是可压缩流体力学理论的基本问题，是非线性偏微分方程领域最重要的研究课题之一，吸引着众多学者的关注。同时，由于不稳定的强激波实际上不出现，因此关于强激波的稳定性与非稳定性研究也是一个重要的研究问题。在经典专著《Supersonic flow and shock waves》中R.Courant和K.O.Friedrichs给出来了如下论述:“来自于负无穷远处的一致超音速流遇到一个尖锐的对称楔状物（楔状物的顶角小于某临界值）时会产生附着在楔状物边缘上的一个弱激波或者一个强激波，分别对应于超音速激波（激波后为超音速流）和跨音速激波（激波后为亚音速流），这两种激波都满足Rankine-Hugoniot条件和物理熵条件。一个自然且有意义的问题是哪种激波会实际发生？普遍认同的说法是仅有弱激波发生，而强激波是不稳定的。但是，对于三维强激波的不稳定性则一直没有一个令人信服的证明。”本文的主要目的是以三维位势流方程为模型来研究此跨音速附体斜激波的不稳定性。我们将证明三维跨音速附体斜激波问题数学上是超定的，这说明了一般情况下斜激波是不稳定的，从而给出了三维跨音速斜激波不稳定性的合理解释。　　全文结构安排如下:　　第一章简单介绍斜激波问题的物理背景和数学研究进展，并说明了论文中的主要问题，主要结论与证明方法。　　第二章致力于无界角状区域内一类二阶椭圆方程Neumann边值问题（带一点初值）的可解性。首先，我们给出加权H(o)lder空间和修正的Bessel函数;次之，运用分离变量法在合适的加权H(o)lder空间中给出方程截断问题的可解性以及解的正则性;再次，通过经典Schauder估计和三维角状有界区域中二阶椭圆方程解的正则性理论提高截断问题解的正则性，进而得到无界区域问题的可解性和解的相应估计;最后，再次运用分离变量法证明解的惟一性。　　第三章以位势流方程为模型讨论跨音速斜激波的不稳定性。该问题可以归结为无界角状区域上的非线性椭圆-双曲耦合方程的自由边界问题。我们通过线性化，部分速度图变换，非线性迭代以及第二章中解的一致估计得到带一点初值的自由边界问题的可解性，这表明跨音速斜激波问题的自由边界问题（初值为边值条件）是超定的，从而说明了跨音速斜激波的不稳定性。　　最后，我们在附录中给出了一些第二章用到的细致估计。