当今,计算是继理论和实验之后的第三种科学研究方法;并且在许多情况下,计算模拟是唯一或主要的手段.本文研究不可压Navier–Stokes(N–S)方程耦合温度方程和Maxwell方程;这些都是复杂的非线性耦合问题,直接求解和计算会遇到一些困难,并且,目前人们对其本质的认识还非常有限,理论上还无法求其精确解.因此,构造和研究求解该问题的稳定性良好的高效数值算法显得十分迫切.本文以自然对流换热方程和磁流体动力学方程为具体研究对象,结合在直接求解过程中遇到的困难,研究和构造了以下几种稳定的高效有限元算法.一、基于两水平方法的思想,我们构造了求解定常自然对流换热问题的高效的两步算法.该方法的核心思想是:(1).用低次等阶有限元配对,如(P1,P1,P1),求解一个非线性问题作为初值;(2).在同一套网格剖分中,用高次等阶有限元配对,如(P2,P2,P2),求解一个线性问题.它和两水平方法的区别是:避免了粗细网格之间的匹配问题.需要说明的是,这里所选用的等阶有限元配对都不满足离散的inf-sup条件,因此,我们采用基于局部高斯积分压力投影的稳定化技巧使得算法稳定.理论分析和数值算例都表明:两步算法可以达到直接用高等次阶元求解该非线性问题的数值精度,但所用CPU时间相对较少.二、Navier–Stokes耦合问题都是非线性的,求解过程中避免不了处理非线性项;如果我们采用迭代法来处理它,每迭代一次计算量就会增加一倍.因此,本文构造了求解非定常自然对流换热问题的特征线变分多尺度方法.该算法不仅可以巧妙地避开非线性迭代(在每一时间层上,只需求解一个线性问题),节约大量的CPU时间并且保证计算精度,而且可以处理大瑞利数问题,此外该算法具有良好的稳定性.最后通过数值算例来验证此算法比经典的变分多尺度方法计算效率更高.三、在求解Navier–Stokes方程的过程中,遇到的最大困难是速度和压力的耦合.为此许多学者提出并发展了投影方法:把一个非线性系统化成一系列椭圆问题,解耦的同时也解决了非线性项的问题,因此该算法非常高效.本文在此基础上,构造了求解非定常自然对流换热问题的两种压力校正投影方法:标准的压力校正投影方法(一阶格式)和旋度式压力校正投影方法(二阶格式);并且这些格式都是无条件稳定的,因此压力校正投影方法可以求解大瑞利数问题.此外,我们还给出了一阶格式的收敛性分析,最后,通过数值算例来验证算法的高效性和理论的正确性.四、上述研究工作基于Boussinesq近似,目前为止,人们对自然对流换热问题的研究大多基于此;对于大温度梯度下的自然对流换热问题(Boussinesq近似不再适用)的研究还比较少,此时质量方程、动量方程和温度方程中的密度都不能假设为常数.实际工程应用中,有很多大温差的情况,因此,对于大温差自然对流换热问题的研究日益迫切.在研究上述工作的过程中,我们发现投影方法是求解不可压Navier–Stokes耦合方程的一种无条件稳定且非常高效的方法.我们选择另一种投影方法:Guage–Uzawa方法,来求解大温差自然对流换热问题.因为和压力校正投影方法相比,它有另外一些优势.本文分别构造了两种形式下的一阶和二阶Guage–Uzawa方法,并给出了稳定性分析.最后,数值算例验证了此算法能够快速、有效的处理大温差自然对流换热问题.五、在前人的研究工作以及上述第一部分的研究工作基础上,把上述第一部分的算法推广应用到求解定常不可压磁流体动力学(Magnetohydrodynamics,简记为MHD)问题上,但又有稍微区别:(1).用低阶有限元配对(P1b,P1,P1)去求解一个非线性问题作为初值,即,用Mini有限元配对(P1b,P1)去逼近速度和压力,用P1元去逼近磁场强度;(2).用高阶有限元对(P2,P1,P2)去求解一个线性问题,即,用Taylor–Hood有限元配对去逼近速度和压力,用P2元去逼近磁场.注意,这里的Mini有限元配对和Taylor–Hood有限元配对都满足inf–sup条件,因此,这里不需要使用稳定化技巧.此外,我们还给出了该算法的稳定性和收敛性分析;最后,给出一些数值算例来说明算法和理论分析的高效性及准确性。