悬臂梁结构广泛应用于人们的日常生产生活中。由于细长扁平的金属悬臂梁容易产生较大的应变，使用起来方便，因此也被应用于微型机电系统（MEMS），如压电式振动型能量采集器。这种采集装置可以将环境中的机械振动转化为电能。它们通常都安装有一根或几根悬臂梁。单臂梁采集器只有当环境频率与基频接近时才能获得有效的采集功率。为增加能量采集频带宽度，多臂梁模型逐渐受到更多关注。近十年来，也有人提议使用非线性技术加强能量采集效果。实验证明，如果使用铁磁结构与悬臂梁自由端耦合作用，采集效果的确有所改善。本文主要研究了一个带尖端磁铁的悬臂装置，旨在用于改进能量采集效果。该装置包含有两根完全相同的黏弹性悬臂梁，其自由端用线性弹簧连接。使用两块相同的圆片形磁铁来生成非线性。其一安置在主梁自由端，另一块磁铁则安装在主结构上。两块磁铁垂直相向。Kelvin黏弹性关系用于模拟悬臂梁的结构阻尼。基于连续体模型，目前已经详细研究了该装置的机械振动情况。磁力出现在非线性边界上，它是关于磁铁间距的分式函数。排斥力作用时会引起系统等效刚度增加，反之，等效刚度减小。在排斥力作用下，悬臂系统仅有一个静平衡位形且稳定。吸引力作用时则可能有两个位形，或者没有（两磁铁相互吸引在一起，从而使得悬臂模型失效）。只有当磁铁间距足够大时，悬臂模型才有两个位形，一个稳定，而另一个不稳定。基于稳定位形，对悬臂组模型进行建模、分析与仿真，研究了系统受到微小的正弦基座激励下的非线性振动。无阻尼自由振动方程用于求解固有频率和模态函数。对于受迫振动，则分别考虑是否含有2:1内共振，使用多尺度方法近似处理。含有内共振时只需要两个时间尺度。文中详细讨论了外激励振幅和黏性阻尼对稳态响应的影响。三时间尺度方法用于单模态分析无内共振时的主共振。每一个解析结果都伴有数值仿真计算。考虑2:1内共振时，系统前两阶固有频率近似成两倍关系。由于连续体模型有无穷多个自由度，截断为有限维系统后，误差将不可避免。为了获得定量验证，减小计算误差，有必要直接处理未经截断的原始控制方程。本文研究了2:1内共振下连续体模型的动力学响应。近似解析方法预测了第二阶主共振会发生饱和现象。而第一阶主共振会发生双跳跃现象。此时频率响应曲线会有两个峰值，且弯向两边。着重研究了双跳跃现象的演化过程。如果2:1内共振微小失调，那么其中一个峰值将占主导地位，而另一个峰值则有所缓和，甚至消失。因此，随着内共振失调大小的改变会引起频响曲线在软特性、硬特性以及双跳跃现象之间进行转换。同时，对于某些特定参数，可能不存在稳定的周期解。尤其是激励振幅较大时，由于内共振的存在，可以产生准周期运动。不考虑内共振时，可以通过三时间尺度方法预测经典的跳跃现象和漂移现象。本论文重点关注软硬转化现象及其演化过程。由于平方非线性对系统只有软化作用，因此双跳跃现象的演化过程会有所限制。随着前两阶固有频率偏离量的增加，演化过程不会相应地无限进行下去。文中提议使用非线性指标（出现最大响应振幅时的激励频率与固有频率的偏离量）来刻画频响曲线的软硬特性。研究表明，2:1内共振是一种实现软硬转换的有效方式。通过调节磁铁间距，原来具有双跳跃现象的频响曲线可以被转换成硬特性、软特性，甚至线性行为。如果弹簧刚度为零，系统便退化为含有非线性边界的单臂梁模型。依然采用多尺度法求解固有频率、模态函数，以及频响方程。研究表明，不参与共振的模态对主共振没有影响。在单一引力作用下，频响曲线均呈软弹簧特性。而斥力作用时由于三次非线性项由负数变成正数，所以当磁铁间距较大时，磁力较小，平方非线性系数的绝对值也较小，此时系统频响曲线会呈现出相反的非线性特性，即硬弹簧特性。当磁铁间距足够小时，磁力较大，从而使得平方非线性系数足够大，系统也会呈现出软弹簧特性。不过这种软硬转换与之前不同。它是由非线性系数所决定，而不再是固有频率。采用有限差分法进行数值仿真，以便理论结果投入实际应用。本文同时在时间和空间上进行差分，尽管这样求解连续体模型的受迫振动非常耗时，不过更容易从定量上验证解析结果。漂移现象、跳跃现象、双跳跃现象和饱和现象均获得证实。本文研究方法和研究结果可以拓展至其他更复杂的连续体动力系统，诸如屈曲梁模型，轴向运动梁模型，超临界输液管道模型，以及能量采集模型等。