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随着弦理论的发展,非对易场论在现代物理中扮演着越来越重要的角色.特别是在理解时空的基本结构,量子霍尔效应,高温超导等方面,非对易场论正在发挥着重要的作用.本文研究非对易轨形上投影算子的构造,并给出其有限表达式.
首先,我们引入一种描写n维非对易平空间Rnθ上场论的重要乘法—Groenewold—Moyal*—乘积.利用Groenewold—Moyal*—乘积代替普通空间上场论中的乘法运算,我们就可以得到对应的非对易场论.接下来,我们详细讨论了轨形的结构.由于轨形是平的,所以轨形上场论与平空间场论有很多相似的地方.为了数学上的简单而又能说明问题起见,我们详细介绍了一维轨形上的场论,它可以非常容易的推广到二维轨形的情况.然后对二维轨形T2/ZN,在赋予了非对易结构后,我们详细的讨论了它的描述方法.对两个非对易参数互为倒数的环面,它们的结构代数Aθ和A1/θMorita等价.在轨形上,以在Aθ和A1/θ中取值的内积算子的形式给出了轨形上的算子,并利用Morita等价性,构造了Morita等价的双模.
在构造显式的投影算子过程中,|k,q〉表象起着非常重要的作用.我们讨论了具有Z6对称性的|k,q〉表象在循环群Z6作用下的性质.Z6作用表现为以2π/6为单位的转动,两次π/3的转动和一次2π/3的转动应该是等价的.具有Z6对称性的|k,q〉基矢经过这种操作后,为了使其相等,我们会得到一个非平庸的等式—Gauss求和公式.在讨论了|k,q〉表象后,我们利用Aθ代数和A1/θ代数的Morita等价,在非对易有理轨形T2/ZN上构造了Aθ代数的投影算子.对T2/Z4的情况,我们在|k,q〉表象下,给出了投影算子的矩阵元.但是,在构造投影算子的过程中,我们用到了A1/θ代数元素b的逆元,在非对易参数小于一的情况下,我们证明了b的逆元b-1存在,且仍是A1/θ的元素.