【摘 要】
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局部间断Galerkin方法(Local Discontinuous Galerkin Method,简称LDG方法)作为一类特殊的有限元方法,因其具有强稳定性、高精度等优点,广泛应用于求解高阶偏微分方程数值解问题。在计算过程中,为保证数值格式较小的数值粘性,选取合适的数值通量对于LDG方法具有至关重要的作用。本文主要研究对流扩散方程基于广义数值通量LDG方法的误差估计问题。论文首先研究非线性对流
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局部间断Galerkin方法(Local Discontinuous Galerkin Method,简称LDG方法)作为一类特殊的有限元方法,因其具有强稳定性、高精度等优点,广泛应用于求解高阶偏微分方程数值解问题。在计算过程中,为保证数值格式较小的数值粘性,选取合适的数值通量对于LDG方法具有至关重要的作用。本文主要研究对流扩散方程基于广义数值通量LDG方法的误差估计问题。论文首先研究非线性对流扩散方程LDG方法的稳定性分析和误差估计问题。当对流项使用广义局部Lax-Friedrichs数值通量(Generalized Local Lax-Friedrichs Numerical Fluxes,简称GLLF数值通量)同时扩散项选取广义交替数值通量时,由对流项数值通量的单调性,获得了方程数值格式的L~2稳定性。在误差分析的过程中为处理非线性项,采用线性化技术方法,通过设计和分析一类特殊的全局Gauss-Radau投影(Global Gauss-Radau Projection,简称GGR投影),消除边界条件所产生的误差,结合先验假设条件,证明了方程的LDG格式可以达到k(10)1阶收敛阶。其次,论文着重分析扩散项系数为非线性函数的变系数对流扩散方程LDG方法的误差估计问题。由于变系数方程LDG格式所选取的广义交替数值通量的特殊性,在误差分析的过程中,建立了带有修正项的GGR投影,用以消除线性化处理后的变系数项在边界处所产生的误差,结合先验假设条件,获得了LDG格式的k(10)1阶收敛精度。最后,根据理论分析,选取恰当的算例进行数值实验,实验结果表明非线性和变系数对流扩散方程的LDG格式在广义数值通量下均可达到k(10)1阶收敛精度。此外,实验数据表明,误差估计理论结果对于非单调的对流项数值通量仍然有效。
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