本篇论文主要研究了带延迟的随机最优控制问题和随机斯塔克尔伯格微分博弈问题。我们建立了一般最大值原理、最大值原理与动态规划原理之间的关系、验证定理,得到了反馈控制、开环策略,讨论了闭环可解性。我们还将这些理论结果应用于实际问题,如最优投资问题、生产消费问题、资源分配问题等。经济金融、航空航天、网络通信等领域的许多问题都可以转化为最优控制问题,然而,现实世界中某些现象的发展不仅仅依赖于当前时刻的状态,也依赖于过去的历史状态。比如由于信号传输的速度有限,穿越长距离通信所需的时间是不可忽视的,或者通过队列所需的时间是不可忽视的。再比如在液压控制系统中,非瞬时的人类反应或化学反应会造成时间延迟,材料的粘弹性效应也会造成时间延迟。因而研究带延迟的最优控制问题具有十分重要的理论意义和应用价值。在现实生活中,我们不仅要根据自己掌握的信息和自己的行为优化自己的指标泛函,还要受别人信息的影响与别人的行为发生相互作用,做出更有利于自己的决策。斯塔克尔伯格微分博弈就是描述参与者信息或者地位不对等情况下进行的博弈问题,在斯塔克尔伯格微分博弈问题中有两位玩家,一位是领导者,另一位是跟随者,当领导者知道跟随者的理性反应并首先揭示其策略时,跟随者不知道领导者的理性反应并且必须在给定的领导者的控制下优化其策略,斯塔克尔伯格策略就是两位参与人的理性解。因而研究带延迟的斯塔克尔伯格微分博弈问题具有深刻的理论价值和重大的现实意义。接下来我们给出本文的主要研究内容和具体的组织结构。论文的第一章介绍了后面五章所涉及问题的研究背景、研究目的、研究意义、研究现状、研究内容以及创新点和主要贡献。论文的第二章研究了一个带延迟的随机最优控制问题,其中控制域非凸,扩散项既包含控制又包含控制延迟。受相关文献的启发,我们将彭随机最大值原理推广到延迟系统,不带延迟部分最大值条件的刻画与彭最大值原理类似,而带延迟部分的最大值条件需要借助条件期望、示性函数和特殊的超前倒向随机微分方程来刻画。通过引入一个特殊的倒向随机微分方程,我们克服了应用对偶技巧时交叉项带来的困难。进一步为了解释理论结果的应用,我们研究了三个动态最优化问题。论文的第三章研究了一个带混合延迟的随机递归最优控制问题。我们得到了粘性解框架下最大值原理和动态规划原理之间的关系,它可以帮助寻找最优控制。我们也给出验证定理来帮助验证一个容许控制是否是真正的最优控制。论文的第四章研究了一个带延迟倒向随机微分方程驱动的线性二次最优控制问题。我们得到了最优控制的显式表达,它是整个历史状态轨迹和将来一小段时间状态期望值的线性反馈。为了得到最优反馈,我们引入一类新的带延迟Riccati方程和一类新的延迟-超前正倒向随机微分方程,最后我们讨论了它们的可解性。论文的第五章研究了一个带延迟的线性二次随机斯塔克尔伯格微分博弈问题。我们的模型非常一般,状态延迟和控制延迟同时出现在状态方程中,而且同时进入扩散项。通过引入两个伪Riccati方程和一个特殊的矩阵方程,我们克服了扩散项中控制延迟带来的困难进而得到了开环斯塔克尔伯格策略的状态反馈表示。最后我们应用前面的理论结果解决了一个资源分配问题。论文的第六章研究了一个含状态延迟的时变系数线性二次最优控制问题,其中不仅包含点延迟还包含平均延迟。通过将原带延迟有限维问题提升为无穷维空间上不带延迟的控制问题,我们给出原问题开闭环可解的定义。通过三个等价的积分型算子值Riccati方程和两个等价的倒向积分型发展方程,我们得到了闭环可解的充要条件。上面结果并不直观因为它是用许多算子来描述的,通过一些耦合的矩阵值Riccati方程和耦合的偏微分方程,我们给出前面结果的显式表达。接下来我们给出本篇论文的主要结论。1.带延迟随机最优控制问题的一般最大值原理假定U ?Rk是非空的,δ＞0是给定的常数,表示延迟时间,考虑下面带延迟的随机控制系统:（?）（0.0.1）和代价泛函:J（v（·））=E[∫0Tl（Tt,X（t）X（t-δ）,v（t）,v（t-δ））dt+h（x（T））].（0.0.2）定义容许策略集为:uad:={v（·）|v（·）是一个U-值,平方可积,Ft-可料过程.问题（P）.我们的目标是在uad中寻找一个控制u（·）,使得（0.0.1）满足并且（0.0.2）最小化。下面引理给出变分方程（2.3.2）和（2.3.3）的估计。引理0.1.假设条件（A2.1）成立。假定x（·）是最优轨迹,xε（·）是与容许控制uε（·）相对应的状态轨迹,那么对任意p ≥ 1,下面估计成立:（?）,（0.0.3）（?）,（0.0.4）（?）,（0.0.5）（?）（0.0.6）（?）（0.0.7）下面引理给出变分不等式。引理0.2.假设条件（A2.1）成立。假定（u（·）,x（·））是最优对,xε（·）是与uε（·）相对应的最优轨迹,uε（·）如（2.3.1）所定义。那么下面变分不等式成立:（?）（0.0.8）由引理0.1和引理0.2可得第二章的主要结论:一般最大值原理。定理0.1.假设条件（A2.1）成立。假定（u（·）,x（·））是最优对,假定对任意t ∈（R,T+δ],lxδ（t）=lxδxδ（t）=0.假定（p（·）,q（·））∈ SF2（[0,T];R）× LF2（[0,T];R）,（P（·）,Q（·））∈SF2（[0,T];R）× LF2（[0,T];R）分别满足ABSDE（2.3.12）和（2.3.13）.除此之外,假定（K（·）,K（·））满足BSDE（2.3.14）并且对任意t∈[0,T],K（t）=K（t）=0.那么如下的最大值条件成立:H（τ,x（τ）,x（τ-δ）,v,u（τ-δ）,p（τ）,q（τ）,P（τ））+EFτ[H（τ+δ,x（τ+δ）,x（τ）,u（τ+δ）,v,p（τ+δ）,q（τ+δ）,P（τ+δ））]I[0,Τ-δ）（τ）≥H（τ,Θ（τ）,p（τ）,q（τ）,P（τ））+EFτ[H（τ+δ,Θ（τ+δ）,p（τ+δ）,q（τ+δ）,P（τ+δ））]I[0,Τ-δ)（τ）,? v ∈ U,a.e.τ ∈[0,T],P-a.s.,（0.0.9）其中H是由（2.3.25）式定义的哈密顿函数。2.粘性解框架下的带延迟随机递归最优控制问题固定延迟时间δ＞0,对任意（s,φ）∈[0,T)× C（[-δ,0];R）,考虑下面受控的耦合正倒向混合时滞随机微分方程（FBSMDDE）:其中X1s,φ,u（t）:=∫-δ0eλτXs,φ,u（t+τ）dτ,X2s,φ;u（t）:=Xs,φ;u（t-δ）.（0.0.11）引入如下代价泛函:J（s,φ;u（·））:=-Ys,φ;u（s）,（s,φ）∈[0,T]×C（[-δ,0];R）.（0.0.12）问题（p）.给定（s,φ）∈[0,r]× C（[-δ,0];R）,目标是寻找 u*（·）∈uω[s,T]使得（0.0.10）存在唯一解且（?）（0.0.13）下面定理给出伴随变量和值函数之间的关系:定理0.2.假设条件（H3.1）-（H3.2）成立。给定（s.x,x1）∈1x∈[0,T]×R2,假设u*（·）是最优控制,三元组（X*（·）,Y*（·）,Z*（·））是对应的最优轨迹,V（·,·,·）∈ C（[0,r]×R2;R）是值函数,假定 γ（·）∈ SF2（[s,T];R）,（p（·）,a（·））∈SF2（[s,T];R3）× LF2（[s,T];R2）分别满足伴随方程（3.2.8）,（3.2.9）,进一步假定对任意t∈[s,Tr],p3（t）≡0,那么{p1（t）γ-1（t）} ?Dx,1+V（t,X*（t）,X*（t））,（0.0.14）Dx1,-V（t,X*（t）,X1*（t））?{p1（t）γ-1（t）},对任意 t∈[s,T],P-a.s.,其中X1*（t）:=∫-δ0eλτX*（t+τ）dτ,X2*（t）=X*（t-δ）.考虑FBSMDDE（0.0.10）的一个特殊情况:下面给出与状态方程（0.0.15）相联系的问题（P）对应的验证定理。定理0.3.假定b,σ,φ满足（H3.1）,a,Φ满足（H3.2）,g（·）三0,f（·）是给定的一致有界确定性函数。假定V（·,·,·）∈C（[0,T]×R2;R）仅依赖于（s,x,x1）,而且它满足对某个k≥ 1,对任意（t,x,x1）∈（0,T）× R2,都有 |V（t,x,x1）|≤C（1+|x|k+|x1|k）,除此之外V（·,·,·）还是下面HJB方程的粘性解:其中广义哈密顿函数G:[0,T]×R×R×R×U×R×R× R×R×R→R定义为（?）（0.0.16）那么我们有V（s,x,x1）≤ J（s,φ;u（·））,对任意（s,φ）∈[0,r]×C（[-δ,0];R）,u（·）∈uw（s,T）.（0.0.17）进而,固定（s,x,x1,x2）∈[[0,T]×R3,假定（X*（·）,Y*（·）,Z*（·）,u*（·））是一个容许对,存在四元组（Θ,p,q,P）∈ LF2（[s,T];R）×LF2（[s,T）;× LF2（[s,T];R）× LF2（[s,T];R）满足:（Θ,p,q,P）∈Dt+,x1,2,1+V（t,X*（t）,X1*（t））,a.e.t ∈[s,T],P-a.s.,（0.0.18）E∫sT[Θ（t）-G（t,X*（t）,X1*（t）,X2*（t）,u*（t）,-V（t,X*（t）,X1*（t））,-p（t）,-P（t）,-q（t））]dt ≤0.（0.0.19）那么（X*（·）,Y*（·）,Z*（·）,u*（·））是最优对。定理0.4.假定在定理θ.3中,g（·）是任意给定的一致有界确定性函数,对应的HJB方程变为（3.4.2）,而（3.4.7）变为如下形式:E[exp{∫sTg（r）dW（r）-1/2∫sT|g（r）|2dr}∫sT[Θ（t）-G（t,X*（t）,X1*（t）,X2*（t）,u*（t）,-V（t,X*（t）,X1*（t））,-pt）,-P（t）,-q（t）)]dt]≤0.此时我们仍然可以得到和定理0.3相同的结论。3.带延迟倒向随机微分方程驱动的线性二次最优控制问题给定s∈[0,T),考虑下面受控的含延迟线性倒向随机微分方程:和代价泛函:（?）（0.0.21）容许控制集为如下集合:u[s,r]:={u:[s[s-δ,T × Ω→Rd| 当t∈s-δ,s)时,u（t）=η（t）;当t∈[s,T]时,u（t）是一个Ft-可料过程,E∫sT |u（t）|2dt＜∞}.问题（D-BSLQ）.给定 s∈[0,T),ξ∈L2（Q,FT,P;Rn）,寻找u*（·）∈u[s,T]使得现在我们给出如下结果来保证（0.0.20）解的适应性:定理0.5.假设条件（A4.1）,（A4.2）成立,δ充分小。那么对任意（ξ,u（·））∈L2（Ω,FT,P;Rn）×u[s,T],状态方程（0.0.20）存在唯一适应解（Yu（.）,Zu（·））∈SF2（[s,T];Rn）×LF2（[s,r];Rn）.而且存在常数K＞0,不依赖于ξ和u（·）,使得下面定理给出问题（D-BSLQ）最优控制满足的必要条件。定理 0.6.假设条件（A4.1）-（A4.3）成立,δ充分小。假定对任意t∈[T,r+δ],Q（t）=R（t）=N（t）=0,假定u*（·）是最优控制,（Y*（·）,Z*（·））是对应的最优状态轨迹。那么下面方程存在唯一解X*（·）∈SF2（[s,T];Rn）:最优控制可以表示为u*（t）=N-1（t）C（t）TX*（t）+EFt[（CTX*）|t+δ]},a.e.t ∈[s,T],P-a.s.（0.0.25）下面定理给出问题（D-BSLQ）最优控制的线性反馈形式。定理 0.7.假设条件（A4.1）-（A4.3）成立,δ 充分小。假定 ∑（·）∈C（[s,r];S+n）,L（·）∈C（[s,T];S+n）,S（·）∈ SF2[s,T];Rn),（X（·）,A（·）,r（·））∈SF2（[s,T];Rn）×SF2（[s,T];Rn）×LF2（[s,r];Rn）分别是（4.3.1）,（1.3.3）,（4.3.5）,（4.3.4）的解,假定对任意 t ∈[s,s+δ],A（t）=B（t）=C（t）=0,对任意t∈[T,T+δ,Q（t）=R（t）=N（t）=A（t）=B（t）=C（t）=0,并且A（t+δ）∑（t）+B（t+δ）∑（t）M-1（t）B（t）T+C（t+δ）N-1（t）C（t）T=0,t∈[s-δ,T].（0.0.26）那么最优控制可以表示为u*（t）=N-1（t）{-C（t）TL（t）Y*（t）+C（t）TS（t）+EFt[（-CTLY*+ CTS）|t+δ]}I,a.e.t∈[s,T],P-a.s.（0.027）而且最优代价泛函可以表示为J（u*（·）=E{＜Gφ（s-δ）,φ（s-δ）＞+＜A（s）,（I+2E（s）G）-1GA（s）＞+∫s-δs[＜Q（t+δ）φ（t）,φ（t）＞+＜E（t+δ）ψ（t）,ψ（t）＞+＜N（t+δ）η（t）,η（t）＞]dt+∫sT[＜[R（t）+R（t+δ）]{2∑（t）[R（t）+R（t+δ）]+I}-1r（t）,r（t）＞+＜[Q（t）+Q（t+δ）]A（t）,A（t））+＜X（t）,[B（t）∑（t-δ）M-1（t-δ）B（t）T+C（t）N-1（t-δ）C（t）T][EFt-δ[X（t）]-X（t）]＞]dt}.（0.0.28）为了研究上面定理涉及到的方程（4.3.1）,（4.3.3）和（4.3.4）的可解性,我们首先考虑延迟Riccati方程（4.3.1）的可解性,为此我们需要考虑下面延迟Riccati方程:下面命题给出延迟Riccati方程（0.0.29）解的唯一性。命题0.1.假设条件（A4.1）,（A4.3）成立,δ充分小。如果含延迟Riccati方程（0.0.29）的解∑（.）满足∑（·）∈ C（[s,T];S+n）,那么解是唯一的。如果我们可以证明含延迟Riccati方程（0.0.29）解的存在性,那么我们可以得到其解的唯一性。然而这个问题研究起来非常困难,目前我们只能处理它的特殊情况。假设iR（·）+R（·+δ）≡0,那么（0.0.29）变为（4.4.5）.下面命题给出（4.4.5）的可解性。命题0.2.假设条件（A4.1）,（A4.3）成立,δ充分小。假定M≥ 0是n × n对称矩阵,条件（A4.4）成立,而且B（·）=I,那么（4.4.5）存在唯一解∑（·）∈ C（[s,T];S+n）.进一步,假定条件（A4.5）成立,而且M＞0,那么∑（·）∈ C（[s,T];S+n）.由上面命题可得定理0.7中延迟Riccati方程（4.3.1）的可解性。推论 0.1.假设条件（A4.1）,（A4.3）,（A4.4）成立,δ充分小。假定 B（·）=I,R（·）+R（·+δ）=0,那么（4.3.1）存在唯一解∑（·）∈C（[s,T];S+n）.下面命题给出定理0.7中Riccati方程（4.3.3）的可解性。命题0.3.假定∑（·）是（4.3.1）的解,那么Riccati方程（4.3.3）存在唯一解,而且（i）如果 G＞0,那么 L（·）∈ C（[s,T];S+n）;（ii）如果 G ≥ 0,那么 L（·）∈C（[s,T];S+n）.在考虑延迟-超前正倒向随机微分方程（DAFBSDE）（4.3.4）解的存在唯一性之前,我们先研究一个更一般的方程:下面定理给出它的可解性。定理 0.8.假设条件（H4.5）-（H4.8）成立,δ充分小,假定要么L4,L6充分小,要么L2,L8充分小,那么对任意ζ ∈ L2（Ω,FT,P;Rn）,DAFBSDE（0.θ.30）存在唯一解（X（·）,A（·）,r（·））∈SF2（[s,T];Rn）× SF22[s,T];Rn)× LF2（[s,T];Rn）.由定理0.8立刻可以得到如下结论。推论0.2.假设条件（A4.1）,（A4.3）成立,δ充分小,而且下面两个条件之一成立:（ⅰ）（?）充分小;（ⅱ）（?）充分小。那么DAFBSDE（4.3.4）存在唯一解（X（·）,Λ（·）,r（·））∈ SF2（[s,T];Rn）× SF2（[s,T];Rn）× LF2[s,T];Rn).4.带延迟线性二次随机斯塔克尔伯格微分博弈问题考虑下面带延迟的线性受控系统:领导者和跟随者的代价泛函分别如下所示:其中,X（·）∈Rn是状态过程,u1（·）∈Rk1和u2（·）∈Rk2,分别是跟随者和领导者的控制过程,φ（·）∈ C（[-δ,0];Rn）是状态的初始轨迹,ηi（·）∈ L2（[-δ,0];Rki）,i=1,2,分别是跟随者和领导者控制的初始轨迹。我们研究的带延迟线性二次随机斯塔克尔伯格微分博弈问题具体如下:对领导者的每个决策u2（·）∈u2[0,T]:=LF2（[0,T];Rk2）,跟随者想要选择一个策略u1（·）∈u1[0,T]:=LF2（[0,r];Rk1）使得他的代价泛函J1（u1（·）,u2（·））是J1（u1（·）,u2（·））在u1（·）∈u1[0,T]上的最小值。领导者事先可以知道跟随者的最优决策u1（·）,领导者想要选择一个策略u2（·）∈u2[0,T]使得他的代价泛函J2（u1（·）,u2（·））是J2（u1（·）,u2（·））在u2（·）∈u2[0,T]上的最小值。严格来说,跟随者想要找到一个映射α1[·]:u2[0,T]→u1[0,T],而领导者想要找到一个控制u2（·）∈ u2[0,r]使得我们先处理跟随者的最优化问题,对领导者的每个决策u2（·）,它是一个带延迟的线性二次随机最优控制问题。问题（F-DLQ）:对任意u2（·）∈ u2[0,T],在u1（·）∈u1[0,T]上最小化代价泛函J1（u1（·）,u2（·））使得（0.0.31）满足。对领导者的任意容许控制u2（·）∈u2[0,T],下面定理给出问题（F-DLQ）可解的充要条件。定理0.9.令（A5.1）成立,对任意t∈[T+δ],Q1（t）=R1（t）=0.令P1（·）满足（5.2.4）且（ζ1（·）,ζ1（·））满足（5.2.5）.那么对任意u2（·）∈u2[0,T],问题（F-DLQ）是可解的并且最优控制u1（·）有如下状态反馈形式:（?）（0.0.33）而且最优代价泛函可以表示为（5.2.7）.接下来我们处理领导者的最优化问题。问题（L-DLQ）:在u2（·）∈u2[0,T]上最小化代价泛函J2（u1（·）,u2（·））使得（5.3.1）满足。下面定理给出问题（L-DLQ）可解的必要条件:定理0.10.令（A5.1）-（A5.3）成立,假定对任意t∈[T,T+δ],Qi（t）=Ri（t）=0,i=1,2.假定矩阵方程（5.3.10）和（5.3.11）分别存在唯一解L（·）和∏（·,·）.令u2（·）是问题（L-DLQ）中领导者的最优控制,X（·）是对应的最优状态轨迹,那么u2（·）有下面状态反馈表示:而且领导者的最优代价泛函可以表示为（5.3.27）.最后我们总结如上内容并陈述本章的主要结论。定理 0.11.令（A5.1）-（A5.3）成立,假定对任意t∈[T,T+δ],Qi（t）=Ri（t）=0,i=1,2.假定（u1（·）,u2（·））是最优开环策略,矩阵方程（5.3.10）和（5.3.11）分别存在唯一解L（·）和∏（·,·）,那么最优开环策略为（?）（0.0.35）u2（t-δ）=Ku2（t-δ）Φ（t|t-δ）,a.e.t ∈[δ,T+δ],P-a.s.,（0.0.36）其中Φ（t|t-δ）,Ku2（t-δ）,K1u1（t-δ）,K2u1（t-δ）的定义见（5.3.30）.5.带延迟线性二次最优控制问题的闭环可解性给定s ∈[0,T)和一个延迟时间δ＞0,考虑下面受控的线性延迟微分方程:其中X（.）是状态,u（·）∈ L2（[s,T];Rm）是控制。∫[-δ,0]A0（t,dθ）X（t+θ）表示状态的点延迟和平均延迟,其中-δ=θN＜θN-1＜…＜θ1＜0.φ0是初始状态,φ1（·）∈ L2（[-δ,0];Rn）是状态的初始轨迹。考虑下面代价泛函:H（u（·）;s,φ0,φ1）:=∫sT[＜Q（t）X（t）,X（t）+2＜S（t）X（t）,u（t）＞+＜R（t）u（t）,u（t）＞+2＜q（t）,X（t）＞+2＜ρ（t）,u（t）＞dt+＜GX（T）,X（T）＞+2＜g,X（T）＞,（0.0.39）其中上式各项的定义详见（6.1.4）-（6.1.10）.问题（P）.对任意（s,φ0,φ1）∈[0,T)× M2,寻找u*（·）∈ L2（s,T];Rm）使得（0.0.37）满足且（?）（0.0.40）其中 M2:=Rn × L2（[-δ,0];Rn）.首先我们将带延迟的问题（P）转换为不带延迟的LQ问题,提升后的问题表述为:问题（EP）.对任意（s,φ）∈[0,T)× M2,寻找u*（·）∈ L2（{s,T];Rm）满足下面状态方程:X（t）=Φ（t,s）φ+∫stΦ（t,r）[B（r）u（r）+b（r）]dr,t ∈[s,T],（0.0.41）而且（?）（0.0.42）其中（?）（0.0.43）接下来我们通过问题（EP）来研究问题（P）的闭环可解性,因此我们引入下面定义。定义0.1.（1）问题（P）被称为在初始对（s,φ0,φ1）∈[0,T]× M2（唯一）开环可解,如果存在（唯一）一个u*（·）∈ L2（[s,T];Rm）满足（0.0.42）.（2）问题（P）被称为在时间s ∈[0,T)（唯一）开环可解,如果对任意（φ0,φ1）∈M2,存在（唯一）一个u*（·）∈ L2（[s,T];Rm）满足（0.0.42）.（3）问题（P）被称为在[s,T)上（唯一）开环可解,如果在所有t∈[s,T),它是（唯一）开环可解的。定义0.2.（1）令Ξ[s,T]:={Θ(（·）:[s,T]→L（M2,Rm）Θ（·）是强连续的且（?）,且 Q[s,T]:=Ξ[s,T]× L2（[s,T];Rm）.二元组（Θ（·）,v（·）∈Q[s,T]被称为[s,T]上问题（P）的一个闭环策略。（2）对任意（Θ（·）,v（·））∈ Q[s,T]且（φ0,φ1）∈ M2,记（?）,v（·））是下面方程的解:X（t）=Φ（t,s）φ+∫stΦ（t,r）[B（r）（Θ（r）X（r）+v（r））+b（r）]dr,t ∈[s,T],（0.0.44）记u（t）=Θ（t）X（t）+v（t）,t ∈[s,T],那么（X（·）,u（·）被称为（Θ（·）,v（·））在[s,T]上对应初始轨迹（φ0,φ1）的导出对;X（·）,u（·）分别被称为对应的闭环状态和由闭环导出的控制。（3）一个闭环策略（Θ*（·）,v*（·））∈ Q[s,T]在[s,T]上被称为是最优的,如果J（Θ*（·）X*（·）+v*（·）;s,φ）≤J（Θ（·）X（·）+v（·）;s,φ）,（?）,（0.0.45）其中X*（·）,X（·）分别是与（Θ*（·）,v*（·）,φ0,φ1）和（Θ（·）,v（·）,φ0,φ1）相对应的闭环状态。如果一个最优闭环策略在[s,T]上（唯一）存在,那么问题（P）被称为在[s,T]上（唯一）闭环可解。下面引理给出问题（P）开环可解的充要条件。引理0.3.假设条件（A6.1）-（A6.2）成立。对任意给定初始对（s,φ0,φ1）∈[0,T）×M2,u*（·）是问题（P）的一个开环最优控制当且仅当下面两个条件成立:（ⅰ）（稳定性条件）S0（t）X*（t）+R00（t）u*（t）+B（t）*p*（t）+ρ0（t）=0,a.e.t ∈[s,T],（0.0.46）其中（X*（·）,p*（·））∈C（[s,T];M2）× L∞（[s,T];M2）满足下面积分方程:#12（0.0.47）（ⅱ）（凸条件）（?）（0.0.48）其中X0（·）是下面积分方程的解:X0（t）=∫stΦ（t,r）B（r）u0（r）dr,t∈[s,T].（0.0.49）借助问题（EP）,我们可以得到问题（P）闭环可解的充要条件。定理0.12.假定（A6.1）-（A6.3）成立。B,R,R?连续,S00（t,θ）,S01（t,θ）关于t连续,关于 θ ∈[-δ,0]一致,S0[I-R00?R00]=0,那么（Θ*（·）,v*（·））是问题（P）在[s,T]上的最优闭环策略当且仅当（ⅰ）（Θ*（·）,v*（·））由（6.3.44）给出,这里对任意φ∈ M2,P（·）满足积分Riccati方程（6.3.41）且η（·）满足积分方程（6.3.42）,（ⅱ）R00≥ 0,R（B*P+S0）? R（R00）,R（B*η+ρ0）?R（R00）,（ⅲ）（Θ*（·）,v*（·））∈ Q[s,T].此时值函数为（?）（0.0.50）注意到前面的结果是用许多抽象算子来表示的,最后我们给出问题（P）闭环可解的一个更直观的刻画。定理 0.13.假定（A6.1）-（A6.2）成立。假定R≥0,B（t）,S00（t）,S01（t,θ）,R（t）,R（t）?关于t连续。假设绝对连续函数P00（t）,P01（t,θ）,P11（t,θ,α）,η0（t）,η1（t,θ）,t∈[s,T],θ,α∈[-δ,0],满足方程（6.3.87）-（6.3.88）,P00（t）=P00（t）T,P11（t,θ,α）=P11（t,α,θ）T,且下面条件成立:（?）（0.0.51）假定（Θ*（·）,v*（·））由下面两个式子来定义:（?）（0.0.52）那么（Θ*（·）,v*（·））是问题（P）的最优闭环策略,值函数为（?）（0.0.53）