本文所考虑的是有限,简单,无向图.令G=(V,E)是一个图,k为一个正整数.如果存在一个映射φ:V→{1,2,...,k)满足使得对任意xy∈E,都有φ(x)≠φ(y)这就说图G的点集V被剖分成V1,V2,...,Vk这样k个不同的子集,使得子图G[Vi]中没有边,i∈{1,2….,k}.若G有一个k-染色(?),则称G是k-可染的.设d1,d2,...,dk是非负整数,且G=(V,E)是分别以V及E为顶点集和边集的图.图G的一个(d1,d2...,dk)-染色是一个映射φ:V→{1,2,...,k)使得子图G[Vi]的最大度至多为di,其中Vi={∈V|φ(vi)=i}若G有一个(d1,dw,...,dk)-染色,则说G是(d1,d2,...,dk)-可染的.若d1=d2=…=dk=d,则称G是d-非正常k-可染的,或(k,d)*-可染的.注意到G是正常k-可染的等价于它是(0,0….,0)-可染的；若G是(d1,d2,...,dk)-可染的,则它一定是(d1’,d2’,...,dk’)-可染的,其中di’≥di,i=1,2,...,k.Steinberg在1976年提出了一个著名的猜想：不含4-和5-圈的可平面图是3-可染的.由于Steinberg猜想的难度很大,Erdos认为可以先研究条件放宽一些的问题：是否可以找到一个正整数C(≥4l),使得不含4-圈到C-圈的平面图是3-可染的.围绕着这个问题,后人展开了相关的研究并取得了一系列的成果.本论文分为三章,主要围绕以上的猜想及相关问题展开研究,所得结论改进了现有的一些结果.第一章介绍了本论文所涉及的相关定义与符号,并做了一个关于正常染色和非正常染色的研究现状的综述.第二章介绍非正常染色的有关结果.第三章介绍正常染色的有关结果.