流体力学及相场问题的有限元方法研究一直都是人们所关注的热点问题.本论文主要针对其中几类有着重要物理意义以及广泛应用背景的非线性模型（如非稳态Brinkman-Forchheimer方程、带有阻尼项的非稳态Navier-Stokes方程、非稳态自然对流方程、Cahn-Hilliard方程、Allen-Cahn方程、Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程）,从协调有限元、非协调有限元、混合有限元、二重网格有限元等不同方法和角度出发,采取一些具有自身特色的分析手段（例如引入平均值技巧、关于时间步长的转移技巧（也可以将其视为离散的导数转移）、在不同的时间层取差商等等）,创新性地研究各个问题相应全离散格式的收敛性、超逼近及超收敛性,并设计相应的数值实验对理论进行验证.论文主要的创新性工作在于:1)针对非稳态的非线性Brinkman-Forchheimer方程提出了与传统混合有限元方法相比更高效的二重网格算法,得到了相应全离散格式的最优误差估计;针对带有阻尼项的非稳态Navier-Stokes方程,提出了它的一个基于非协调单元的混合有限元逼近格式,首次得到了各变量的超逼近及超收敛误差,改善了以往文献仅有最优误差估计的结果;2)讨论了目前为止尚未涉及的关于非稳态自然对流方程的线性化欧拉全离散格式及二阶BDF格式的超逼近及超收敛性.不同于以往大部分文献借助投影来进行分析的思路,我们采用了上述的一些新的估计技巧,得到了高精度的误差估计.特别地,通过时空误差分裂技巧,得到了线性化欧拉全离散格式无需时空步长比限制的超收敛结果;3)分别构造了Cahn-Hilliard及Allen-Cahn方程基于协调的双线性元及非协调₁有限元的二重网格算法,得到了相应离散格式下各变量的超逼近及超收敛性.特别地,对于Allen-Cahn方程,我们利用非线性项所具有的单调性质,给出了数值格式更具一般性的稳定性分析,去掉了以往许多文献中所需的8)(6_∈|1)^′（）|≤的限制,进一步完善了相关研究;4)讨论了Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程基于凸分裂的有限元全离散格式的严格误差分析.我们利用非协调单元逼近耦合系统中Navier-Stokes方程,双线性元逼近Cahn-Hilliard方程,首次得到了相应离散格式下的超逼近及超收敛结果.首先,构造了非稳态Brinkman-Forchheimer方程基于协调元的混合有限元二重网格算法,利用一些常规的估计技巧,得到了Crank-Nicolson全离散格式下变量的最优误差估计,并通过数值实验验证了二重网格算法比传统有限元方法节省了约三分之二的计算量;此外,针对带有阻尼项的非稳态Navier-Stokes方程,提出了它的一个基于非协调CNR₁/₀元的线性化欧拉全离散格式,采取平均值技巧以及在相邻时间层取差商的技巧处理对流项及不可压缩条件的限制给分析造成的困难,得到了在能量模及在²模意义下的超逼近误差,并利用插值后处理技巧,得到了整体的超收敛结果.其次,讨论了非稳态自然对流方程基于协调及非协调单元的混合有限元方法,这里主要包含三部分内容.第一,利用CNR₁/₀单元构造了问题的一个线性化欧拉全离散格式,通过引入平均值技巧、离散的导数转移技巧等处理对流项（·?）及耦合项·?.结合单元的性质,得到了各个变量的超逼近误差估计.同样,利用插值后处理技巧得到了整体超收敛性质;第二,我们仍然考虑自然对流问题的线性化欧拉时间离散格式,空间上则选取Bernadi-Rangel元来逼近速度及压力,双线性元逼近温度.不同于第一部分,这里我们通过引入时间离散系统的方法将误差分裂为时空两个部分,进而研究其无需时空步长比值限制的超逼近及超收敛性;第三,利用₁₁/₀单元构造了问题的一个线性化的二阶BDF全离散格式.通过建立新的导数转移公式、在不同时间层取差商并结合前两节估计所用到的一些技巧,得到了变量的超逼近及超收敛结果.再次,分别讨论了相场Cahn-Hilliard方程及Allen-Cahn方程的二重网格有限元算法.针对四阶Cahn-Hilliard方程,通过引入变量将问题转化为二阶耦合问题,建立了它的基于双线元的能量稳定的凸分裂全离散格式,并提出了相应的二重网格算法.利用在相邻时间层取差商的技巧处理变量间耦合带来的估计难度,得到了该算法下尚未涉及的超逼近及超收敛性;对于Allen-Cahn方程,则构造了它的一个基于非协调₁元的二重网格有限元算法.我们借助非线性项所具有的单调性质,在无需8)(6_∈|1)^′（）|≤限制的前提下,给出了数值格式的稳定性分析,并结合单元特性,得到了变量的超逼近误差以及整体超收敛性.最后,针对Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程,构造了它的一个基于Cahn-Hilliard方程凸分裂形式能量稳定的一阶全离散格式.其中,空间离散上,我们采用CNR₁/₀单元对逼近Navier-Stokes方程,双线性元则逼近Cahn-Hilliard方程.为了克服系统强非线性及变量间的复杂耦合给估计带来的困难,我们结合前两部分所用到的估计技巧,得到了各变量的超逼近误差,进而通过插值后处理的方法得到了相应的超收敛结果.值得一提的是,以上这些有关超收敛性质,尤其是非协调有限元方法的研究,在以往文献中都鲜有涉及.此外,在每一部分,我们都给出了数值算例来验证理论分析的正确性以及相应算法的合理及有效性.