本文首先考虑二阶Hamiltonian系统ü(t)-L(t)u(t)+▽W(t，u(t))=0(HS)的同宿轨的存在性，其中L∈C1(R，RN2)是一个对称的实值函数矩阵，W∈C1(R×RN，R)，而▽W(t，x)=(()W/()x)(t，x).首先在没有任何周期性和强制性的假设下讨论系统(HS)的同宿轨的存在性，具体地说，假设L(t)=0，特别地，假设W(t，x)关于t是偶的并且满足一类新的超二次条件，这类条件不同于文献[6]，[7]，[8]，[9]，[10]，[12]，[14]，[15]，[17]，[19]，[20]，[22]，[24]，[25]和[26]中的超二次条件.它不但包含通常的超二次情形而且包含了渐近二次的情形，具体地说，W(t，x)允许在原点和无穷原点处都满足渐近二次的假设.并且当L(t)是一致正定的时候，我们在一类比Ambrosetti-Rabinowitx条件弱的新的超二次条件下，讨论了超二次的情形.我们借鉴了文献[10]中一些思想，主要是利用一列零边值问题的解来逼近同宿轨，具体的做法是首先利用山路引理得到了一列零边值问题的非平凡解，然后利用零边值问题的解逼近得到一个非零的极限. 本文还讨论了二阶Hamitonian系统ü(t)-λu(t)+▽W(t，u(t))=0(HS2)其中λ＞0，W∈C1(R×RN，R)而▽W(t，x)=(()W/()x)(t，x).对二阶Hamiltonian系统的研究，超二次的Hamiltonian系统一直是研究的热点，而研究渐近二次的情形文献却很少.本文在没有周期性和强制性条件的假设下，讨论了系统(HS2)在原点和无穷远点都渐近二次的情形，得到了系统(HS2)的同宿轨的存在性，并且在W(t，x)关于x是偶函数的条件下利用偶泛函的临界点理论得到了同宿轨的多解性.