分立呼吸子是广泛存在于分立非线性系统中时间呈周期性且空间局域化的非线性激发模式；本文对分立呼吸子进行系统的研究,在分析非线性动力学系统的动力学、热学等性质方面有着重要的影响。近年来,对分立呼吸子的研究主要从两个方面入手,即实验方面与理论方面。实验方面主要包括光晶格上的玻色-爱因斯坦凝聚、生物神经信号传输、非线性耦合光波导阵列、高分子聚合物中能量输运以及约瑟夫森节网络等方面的研究。理论方面主要包括分立呼吸子的存在性及稳定性方面的研究,以及在不同非线性动力学系统中分立呼吸子向其它类型呼吸子演变时所需满足的条件等方面的研究。　　 本文主要讨论了不同非线性晶格模型中分立呼吸子的存在性及稳定性问题。首先是在分立的情况下运用旋转平面波近似(RWA),局域非简谐近似(LAA),试探解方法和分离变量的方法证明了分立呼吸子存在于很多典型的非线性晶格模型中,这一结论与用中心流形定理或变分法证明得到的关于非线性晶格模型中存在分立呼吸子的结论相一致,但本论文所用的方法在计算和推导方面更为简便,物理图像也更为清晰；同时还给出了存在于模型中的分立呼吸子的具体种类即一维非线性模型中具有对称和反对称两种分立呼吸子,二维情况下则比一维情况多一种镜面对称的分立呼吸子。其次运用线性稳定性分析法和Aubry的能带论探究了各种非线性模型中分立呼吸子的稳定性问题,论文以经典的非线性FPU模型为基础,得到了对于一维、二维非线性单原子FPU模型中的分立呼吸子均有稳定存在的区域；而对一维双原子FPU模型,在禁带中存在LS、HS、LA和HA这四种对称模呼吸子,除了HA对称模呼吸子在整个禁带中都不稳定,其它三种均有稳定的区域。在二维非线性双原子FPU模型中,除上述四种类型的呼吸子外我们还得到了LMS、HMS这两种新的对称模呼吸子且其有稳定存在的区域。其它的模型如:KG模型、Morse模型、Toda模型、Sine-Gordon模型以及Peyrard-Bishop DNA模型中分立呼吸子的种类与FPU模型中相同,只是不同模型中分立呼吸子的稳定性与各自模型中在位势和相互作用势的大小有关。　　 本论文的第二个方面主要讨论了囚禁于外部势阱的玻色-爱因斯坦凝聚体中亮、暗孤子链的产生及随时间的演化规律。计算结果表明,相位刻印、密度扰动和两个独立的凝聚体间的碰撞,这三种方法都可以在玻色爱因斯坦凝聚体中产生孤子链；尤其是第三种方法所产生的孤子会像刚性的粒子一样在囚禁势内做碰撞运动,并且随着时间的延长将以一种复杂的方式不断地碰撞和演化下去,此时出现孤子的数目同用玻尔-索末菲量子化准则所得到的结果有较好的吻合,同时也对在实验中能够观察到稳定的孤子解有着理论上的指导作用。