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本论文就一类有界区域上抛物型方程组模型问题,提出特征差分格式和特征有限元格式,并给出了理论分析和数值实验.杜宁在2003年提出此模型的一类经济特征差分格式,在我的文章中,采用二次插值代替线性插值,用能量模方法分析了稳定性和收敛性,最后给出了数值算例;在对对流项系数做了必要的假设后,分析了此模型的特征有限元格式,实质上拓广了J.Douglas,Jr.等人的工作,丰富了对此模型问题的研究和应用.全文一共分两章,两章的数学模型为:
{(ψ)(x)(e)u/(e)t-[▽x,A(x,t)▽xu]=B(x,t)▽xu+f(x,t)(x,t)∈Ω×(0,T)],u(x,t)=0(x,t)∈(e)Ω×(0,T)],u(x,0)=u0(x)x∈Ω.
两章中只是B(x,t)有点差异.
在第一章中,一共分四节:第一节,引入特征线后,将抛物型方程组转变成等价的形式:
{~(ψ)(x,t)(e)u/(e)r-[▽x,A(x,t)▽xu]=B1(x,t)▽xu+f(x,t),(x,t)∈Ω×(0,T)]u(x,t)=0(x,t)∈(e)Ω×(0,T)],u(x,0)=u0(x)x∈Ω.
第二节中,就此等价的形式提出了特征差分格式:
{(ψ)1,iUn1,i--Un-11,i/△t-δx(an11δxUn1)i-δ-x(an12δxUn2)i=bn12,iUn2,i+1-Un2,i-1/2h+fn1,i,0≤-xi≤1(ψ)1,iUn1,i/kn1,i-δ-x(an11δxUn1)i-δ-x(an12δxUn2)i=bn12,iUn2,i+1-Un2,i-1/2h+fn1,i,-xi<0,-xi>1{(ψ)2,iUn2,i--Un-12,i/△t-δ-x(an21δxUn1)i-δ-x(an22δxUn2)i=bn21,iUn1,i+1-Un1,i-1/2h+fn1,i,0≤^xi≤1(ψ)2,iUn2,i/kn2,i-δx(an21δxUn1)u-δx(an22δxUn2)i=bn21,iUn1,i+1-Un1,i-1/2h+fn2,i,^xi<0,^xi>1
第三节,分析了特征差分格式的稳定性和收敛性,并给出了如下两个定理:
定理1.1(特征差分格式的稳定性定理)
如果抛物型方程组的系数满足假设条件(Ⅰ),且△t=O(h2),U1n-1(x)和U2n-1(x)由二次插值定义,则特征差分格式的解按l2范数稳定.
定理1.2(特征差分格式的收敛性定理)
设抛物型方程组的系数满足假设条件(Ⅰ),其解u∈L∞(0,T;w4,2(Ω)),且(e)2u/(e)2r∈L2(0,T;l2).U是特征差分格式的解,则max0≤tn≤T‖un-Un‖≤K(‖u‖L∞(0,T;w4,2(0,1))h2+‖(e)2u/(e)2r‖L2(0,T;l2)△t)
第四节中:我们就一个具体例子给出数值实验.
第二章中,一共分四节:第一节同上一章第一节;第二节,提出了特征有限元格式:
{<(ψ)(x)Un+1--n/△t,v>+∫Ω[A(x,tn+1)▽xUn+1,▽xv]dx=(A)v∈μh=(A)v∈μh
第三节中分析了特征有限元格式的收敛性,并给出了如下定理:
定理2.1(特征有限元格式的收敛性定理)
假设u是抛物型方程组的解,且系数满足条件假设(Ⅱ),U是特征有限元格式的解,则
max0≤tn≤T(u-U)n‖2L2+△tM∑n=0‖(u-U)n‖2H10≤K((△t)2+h2r+2)
第四节,给出了具体的数值算例.