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量子群理论是代数学中非常重要的研究内容,它是自上世纪八十年代中期发展起来的代数分支.近三十年以来,其理论被人们广泛地讨论.本硕士论文主要研究当q不是单位根时,单李超代数osp(1,2)的量子化包络代数Uq(osp(1,2))的同构与自同构问题.量子化包络代数Uq(osp(1,2))是由生成子E,F,K,K-1和关系式:KK-1=K-1K=1,KEK-1=qE,KFK-1= q-1F,EF+FE=K-K-1/q-q-1生成的C-结合代数。
具体地,在第一部分,我们介绍了量子化包络代数Uq(osp(1,2))的研究背景,并进一步引出本论文的研究对象:量子化包络代数Uq(osp(1,2))的同构与自同构问题。
在第二部分,我们罗列了本文要用到的有关量子化包络代数Uq(osp(1,2))的部分结果:
Uq(osp(1,2))具有唯一的超Hopf代数结构(引理1.4);Z(Uq(osp(1,2)))是Uq(osp(1,2))的子代数,且由量子Casimir元素Cq生成(引理1.5);利用数学归纳法可得到Uq(osp(1,2))的生成子所满足的一般关系式(引理1.6);量子化包络代数U(osp(1,2))是无零因子整环,且具有基{FiKlEj|i,j∈N,l∈Z}(引理1.7);Uq(osp(1,2))的所有有限维单模分类(引理1.8)。
在第三部分,我们主要讨论了两个参变量p和q所对应的量子化包络代数Uq(osp(1,2))与Up(osp(1,2))之间的同构问题,主要结论有:
引理2.1设u∈Uq(osp(1,2)).则u是乘法可逆元当且仅当存在λ∈C*,m∈Z使得u=λKm。
定理2.3设p,q是域C上的两个非零元,且均不为单位根。则p和q所对应的量子化包络代数Uq(osp(1,2))和Up(osp(1,2))作为C-代数同构当且仅当p=q±1。
在第四部分,我们主要讨论了量子化包络代数Uq(osp(1,2))的自同构,主要结论有:
定理3.1设q∈C*,q不是C中的单位根,则φ∈Aut(Uq(osp(1,2)))当且仅当存在r∈Z,λ∈C*,使得φ具有以下形式:(1)φ(K)=K,φ(E)=λEKr,φ(F)=λ-1K-rF,
或(2)φ(K)=-K,φ(E)=λEKr,φ(F)=-λ-1K-rF。