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众所周知,Auslander-Reiten理论是代数表示论的理论基础之一。最近Iyama提出了极大n-正交子范畴的概念,并利用它将经典的Auslander-Reiten理论从2维推广到高维。事实上,Iyama的高维的Auslander-Reiten理论依赖于极大n-正交范畴的存在性。本文中,我们将研究极大n-正交子范畴的存在性与模和代数的同调性质之间的关系。特别的,对于具有平凡的极大(n-1)-正交子范畴的(n-1)-Auslander代数我们将确定其代数结构及其上有限生成的不可分解模的结构。
全文共分四章,内容如下:
第一章主要介绍问题的背景并列出一些预备知识。特别地,本文中的代数均为Artin代数,所有的模都是有限生成的。
在第二章中,我们利用单模的同调性质研究了(n-1)-Auslander代数什么时候有极大(n-1)-正交子范畴。并由此得到了(n-1)-Auslander代在平凡的极大(n-1)-正交子范畴的一个充要条件。同时我们给出了几乎遗传代数存在极大1-正交子范畴的一个充要条件。
定理0.0.1假设人是整体维数为n且具有极大(n-1)-正交子范畴的(n-1)-Auslander代数,S是投射维数为n-1的单A-模。则(1)S不是内射的.
(2)对任意内射维数为n的不可分解投射A-模P,1≤ida S≤n-1当且仅当Hom∧(S,P)=0成立。
(3)某个有限生成的内射维数为n的不可分解投射A-模P,id∧ S≤n当且仅当Hom∧(S,P)≠0成立。
定理0.0.2假设∧是整体维数为n的(n-1)-Auslander代数,则下列陈述是等价的。
(1)A具有平凡的极大(n-1)-正交子范畴add∧(∧∈(⊙)D∧op)。
(2)投射维数为n的单∧-模是内射的。
(3)不存在投射维数和内射维数都为n的单∧-模;并且对任意单模S,1≤pd∧ S≤n-1当且仅当1≤id∧S≤n-1。
定理0.0.3假设∧是整体维数为2的几乎遗传代数。则下列陈述是等价的。
(1)∧具有极大1-正交子范畴∮。
(2)下列条件满足:
(I)r.gradeD∧op=2,(ii)任意满足r.gradeM=2的不可分解非投射∧-模M是内射的。
(3)对任意不可分解非投射∧-模M,M是内射的当且仅当r.grade M=2。
特别地,如果人具有极大1-正交子范畴(∮),则(∮)是平凡的,即(∮)=addA(A(⊙)D∧oP)。
上面这些结果已在《Journal of Algebra,321(10)(2009),2829-2842》上发表。
在第三章中,我们将研究整体维数为n且具有平凡的极大(n-1)-正交子范畴的(n-1)-Auslander代数上的不可分解模的结构。进一步,我们将研究整体维数为n且具有平凡的极大(n-1)-正交子范畴的(n-1)-Auslander代数的结构定理。另外,我们将给出Auslander代数具有非平凡的极大1-正交子范畴的一个必要条件。
定理0.0.4假设∧是整体维数为n的(n-1)-Auslander代数。如果∧具有平凡的极大(n-1)-正交子范畴,则(1)对任意不可分解非投射-内射∧-模M,pd∧M+id∧ M=n。
(2)对任意不可分解∧-模M,pdA M≤n-1或id∧M≤n-1.
定理0.0.5假设∧是整体维数为n的(n-1)-Auslander代数。如果∧具有平凡的极大(n-1)-正交子范畴,则A是一个Nakayama代数。
定理0.0.6假设∧是整体维数为2的Auslander代数。如果∧具有平凡的极大1-正交子范畴,则∧是有限表示型的倾斜代数.
定理0.0.7假设∧是一个本原且连通的有限维代数。则∧是整体维数为n且具有平凡的极大(n-1)-正交子范畴的(n-1)-Auslander代数当且仅当∧是由箭图1←β12←β2←β3←βn+1生成的代数模去由{βiβi+111≤I≤n-1)生成的理想的商代数。
定理0.0.8假设∧是整体维数为2的Auslander代数。如果∧具有非平凡的极大1-正交子范畴,则(1)存在一个投射维数内射维数同时为2的单∧-模。
(2)至少存在2个投射维数为2的单∧-模。
在第四章中,我们将研究整体维数为2的代数什么时候具有平凡的极大1-自正交子范畴。作为定理0.0.6的推广,我们将给出Auslanders1-Gorenstein代数与倾斜代数之间的关系。
定理0.0.9假设∧是整体维数为2的AuslandLers1-Gorenstein代数。如果∧具有平凡的极大1-正交子范畴,则∧是一个倾斜代数。