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在半线性偏微分方程的研究领域当中有一类非常重要的非线性现象，这类非线性现象就是分支现象，它反应的是流的拓扑结构随参数的变化而引起质的变异。分支问题主要包括局部分支问题、半局部分支问题和全局分支问题。偏微分方程分支问题的研究既要用到经典的动力系统理论，又要用到拓扑、代数、泛函等相关知识，其研究具有强烈的实际背景和重大的理论意义。 本文利用中心流形理论、规范型方法以及全局稳态分支定理等数学理论与数学方法，针对几类半线性偏微分方程的局部Hopf分支、全局稳态分支以及图灵分支进行了系统的研究。本文的主要工作如下： 1、利用中心流形理论和规范型方法，给出了一般的半线性偏微分方程的局部Hopf分支定理：给出了判定Hopf分支存在性的条件，以及判定分支方向和分支周期解稳定性的一般的计算公式。这一定理的提出，为半线性偏微分方程局部Hopf分支的研究提供了方法和途径；结合一类具有扩散项的捕食与被捕食模型和刻划CIMA化学反应的Lengyel-Epstein系统，我们证明了这两类半线性偏微分方程，不但具有空间齐次的周期解，而且还具有空间非齐次的周期解；同时，我们证明了，空间的“大小”影响着空间非齐次分支周期解的个数：当空间区域足够大时，空间越“大”，空间非齐次分支周期解的个数越多。 2、利用史峻平和王学峰的推广的全局稳态分支定理(该定理指出，在适当的条件下，局部稳态分支和全局稳态分支是等价的)，给出了适用于一般半线性偏微分方程的简化的全局稳态分支定理。结合一类具有扩散项的捕食与被捕食模型，给出了这类半线性偏微分方程产生全局稳态分支的条件，并证明了在适当的条件下，系统的稳态分支曲线将形成一个“线圈”，该“线圈”连接系统的两个不同的稳态分支点。同时，研究了这类半线性偏微分方程中Hopf分支和稳态分支之间的相互作用与影响。 3、利用适用于一般的半线性偏微分方程处理图灵分支的方法，在一维的有界的空间区域上，考虑了刻划CIMA化学反应的Lengyel-Epstein系统的图灵分支，得到了易于验证的一般性的判别准则。同时，通过数值模拟对我们的理论分析加以验证。