有限元方法历经了半个多世纪的研究和发展,如今已广泛应用到许多科学研究和工程领域.有限元分析基本环节之一是求解以结构刚度矩阵为系数的线性方程组,通常涉及到上万阶的对称正定稀疏矩阵.在方程组的求解方法中,预条件共轭梯度法(PCG)是目前较为流行的方法之一.固体有限元分析中的刚度矩阵具有对称、正定、稀疏等特性,但和流体力学等领域中的一些系数矩阵不同,它一般不具有对角占优的特点.该文针对固体有限元分析中所得到的刚度矩阵讨论了预条件共轭梯度法的实现,并分析此方法的优缺点.就现有的不完全Cholesky分解的不稳定性(其不稳定性是指分解过程中对角元的某个元素变得很小或变为负数),该文提出了用每行部分非零元素的绝对值加到该行对角元上的分解方案.测试算例说明该方案有效地增加了预优矩阵的稳定性,并提高了预条件共轭梯度法的整体效率.此外,在实际工程问题中,往往需要求解不同荷载作用下结构的响应,除此之外还有一些别的情况需解多个右端项.但是现有的PCG法大都是针对单个向量进行迭代操作的,不适合实际工程问题中的多工况同时求解.该文根据这一实际工程中的需要,提出了多工况同时求解算法,并在矩阵运算中引入了循环展开(unrolling)技术,在很大程度上提高了迭代效率,加快了多工况PCG法的整体求解速度.大量的测试数据结果说明了多工况同时求解算法的可行性和高效性.该算法在迭代次数上都有着明显的优势,同时在计算时间上也有着一定的优势,能够很好地满足实际工程问题的需要.