【摘 要】
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Jorgensen.P.T.和 Pederson.S.[20]发现 1/4 Cantor 测度μ(奇异且非原子的)对应的L2(μ)中存在正交指数函数基EΛ={e2πi:λ ∈ Λ},这是分形几何与调和分析交叉领域的一个
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Jorgensen.P.T.和 Pederson.S.[20]发现 1/4 Cantor 测度μ(奇异且非原子的)对应的L2(μ)中存在正交指数函数基EΛ={e2πi<λ,x>:λ ∈ Λ},这是分形几何与调和分析交叉领域的一个历史性的成就.我们称有以上性质(即L2(μ)中存在正交指数函数基)的测度μ为谱测度,且Λ为测度μ所对应的谱.这个伟大的发现使得分形集上的Fourier分析迅速成为数学领域研究的热点.近些年,学者们对自仿测度的谱和非谱问题极其关注.对于平面自仿测度μM,D(见定义(1.1))的非谱问题已有一系列优秀的研究成果,但这些研究对象均是整数扩张矩阵M ∈ M2(Z),且这些研究方法技巧推广到实数扩张矩阵是不容易的.而本论文研究由实数扩张矩阵M=(?)∈ M2(R),其中,0<|p|<1且满足p ∈0 p-1={±(q/p)1/r:1 ≤ q
:λ ∈A}的基数是多少?我们分3 |q和3 |q这两种情况进行研究,证明了若3 |q,L2(μM,D)空间中互相正交指数函数系的最大基数是3,且数字3是不可改进的;若3|q,则L2(μM,D)中每个正交指数函数系是有限的,但对于任意给定的正整数N,L2(μM,D)中存在N个相互正交的指数函数,因此指数函数系EΛ基数的上确界为∞,即n*(∞,即=∞(见定义(2.1.2)).这为更一般的自仿测度μM’,D’的谱性研究提供了思路,其中M’=(?)∈M2(R)和数字集D’=(?)R2.
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