【摘 要】
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很多自然科学领域中存在着的现象,可以用抛物型方程或方程组描述.比如一些化学反应,热传导现象以及粒子输运,生物形态变迁等扩散现象.Fisher-Kolmogorov(FK)方程模型是1937年由R.Fisher和Kolmogorov首先提出来的,用于描述生物种群的扩散和适应间的相互作用. 非线性问题是现代数学的主要研究课题之一,求解非线性问题一方面是由于科学技术发展的需要,另一方面是由于计算技
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很多自然科学领域中存在着的现象,可以用抛物型方程或方程组描述.比如一些化学反应,热传导现象以及粒子输运,生物形态变迁等扩散现象.Fisher-Kolmogorov(FK)方程模型是1937年由R.Fisher和Kolmogorov首先提出来的,用于描述生物种群的扩散和适应间的相互作用. 非线性问题是现代数学的主要研究课题之一,求解非线性问题一方面是由于科学技术发展的需要,另一方面是由于计算技术的高速发展提供了解决这类问题的可能.在实际数值方法的构造中主要是处理非线性项,计算过程颇为复杂,数值实验中使用的简化Newton法,计算结果又不精确.通常考虑将非线性项进行线性化处理,保留原有收敛阶的同时可以提高计算速度.与此同时,在实际应用中,很多问题的规模都较大,用普通的有限差分法进行求解既困难又耗费时间.因此,用并行算法来处理方程的离散格式,进而用数值方法求解抛物型的偏微分方程问题具有重要的理论意义和应用价值. 古典显式格式具有理想的并行性,非常适合于并行计算,但由于它是条件稳定的,因此在实际的大型科学计算中,人们经常用具有良好稳定性的隐式格式或者Crank-Nicolson格式.由于求解隐式差分格式不易于并行求解,借于此,人们研究出了利用Saul’ yev非对称格式构造分段隐式的思想,并且恰当地使用交替技术建立了多种显-隐式和纯隐式交替并行方法,得到了稳定性和并行性兼顾的研究成果. 本文大体分为四部分.第一部分针对论文中用到的背景知识进行归纳总结,对发展方程做出介绍,特别地,针对FK方程,将前人所做的关于解的存在唯一性及相关应用等理论做出综述概括.接下来对于本文用到的有限差分法的相关理论进行概括.随后分别介绍古典格式,Saul’ yev非对称格式及交替分段C-N格式等相关知识.第二部分利用C-N格式,设计出FK方程的有限差分算法,证明了解的存在唯一性及先验估计.并给出其按L∞范数收敛,收敛阶为O(τ2+h2).最后进行数值实验,计算结果与理论分析相吻合.考虑到在构造差分格式时每一步均需要求解一个非线性方程组,计算过程颇为复杂,在实际的数值实验中使用简化Newton法,又不够精确.因此,第三部分给出了处理非线性项的线性化方法,在保留原有收敛阶的基础上,简化了数值实验的求解过程.第四部分借鉴交替分段C-N方法来处理全隐的C-N格式,设计出新的并行格式,理论上证明了此方法可以保留原有的收敛阶,数值实验也给出了相应的误差估计,并且验证了此方法可以提高计算速度.
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