形状插值是计算机动画和电影产业的经典问题。等几何分析无缝融合了计算机辅助工程和计算机辅助设计。这两个不同的领域都和几何映射密切相关。对于任意两个区域之间的映射，一般要求映射必须是双射，扭曲尽可能小且尽可能光滑。拟共形映射，特别是Teichmüller映射正好满足上述要求。本文的主要工作是利用Teichmüller映射来处理等几何分析参数化和形状插值问题。　　本文第二章首先介绍了拟共形映射和Teichmüller映射相关理论知识。对于单连通区域，共形映射是双射且保角的映射。不过共形映射对于边界要求太严格了，因此有必要借助拟共形映射来解决区域映射的问题。给定单连通区域之间的边界对应，Teichmüller映射是唯一使得共形扭曲最小的拟共形映射。这正是理想中的最佳映射。在本章中我们还介绍了等几何分析的基本框架以及求解最优化问题的交替方向法(ADMM)。　　第三章利用Teichmüller映射的Beltrami系数的范数为常数这一性质，提出了求解Teichmüller映射的新方法。该方法将问题转化为一个非凸问题，并用ADMM迭代求解。数值结果表明了该方法的稳定性，基于该方法我们给出了平面区域参数化的有效方法。对于给定边界曲线的平面区域，我们用Teichmüller映射得到了该区域的参数样条表示。由Teichmüller性质可得知，这样得到的参数化不仅是双射而且具有极小化的共形扭曲。在等几何分析中，应用我们的参数化结果，可以有效降低刚度矩阵的条件数，进而大大提高了方程解的精度和稳定性。　　第四章将拟共形映射应用于平面形状插值问题。拟共形映射的共形扭曲由其Beltrami系数的范数唯一决定。给定了初始形状和目标形状，我们可以计算两者之间的拟共性映射及其Beltrami系数。为了使共形扭曲随着时间而线性变化，我们直接对Beltrami系数做非线性插值。然后根据插值得到的Beltrami系数重构出拟共形映射。由这种方法得到的形状插值序列，能够满足仿射不变性、共形不变性、有界扭曲性、没有翻转等诸多优良性质。　　第五章考虑两个单连通区域之间的拟共形映射的边界对应问题。理想中的映射不仅保角，还应该保面积。但是这样的映射绝大多数时候都是不存在的，因此我们希望找到两者之间的一个平衡点。本章的思路是从保角映射出发，通过调整边界对应，逐步放宽对角度的限制，让面积扭曲逐步平均化。　　最后在第六章中给出了未来工作的展望。