Laplace算子是数学物理方程中的一类重要算子,也是Hodge理论以及de Rham上同调理论的核心,在图像处理和计算机视觉中等领域中,Laplace算子有着重要的研究价值。离散的Laplace算子是定义在图或者离散网格上的。对于有限维图,离散Laplace算子通常称为Laplace矩阵。离散Laplace算子在Ising模型、回路量子引力以及离散动力系统的研究中起着重要作用。同时,离散的Laplace算子理论同数值分析、图像处理和机器学习等诸多领域有着紧密联系。二十世纪90年代之前,关于偏序集的研究主要侧重于其组合性质。近些年来,随着偏序集关联代数同调理论的发展,偏序集上的代数性质也被重视起来。张量积偏序集是组合学和图论的一个重要研究课题。另外,作为一类重要的函数方程,迭代方程的研究一直备受关注。本文将用同调的方法研究一类张量集偏序集,给出这一类张量积偏序集的Laplace谱和区间Laplace谱。同时,本文研究与图Laplace算子相关的两类迭代方程解的存在唯一性。本文首先定义一类偏序集张量积P(r,s,k).给出偏序集张量积P(r,s,k)的Laplace算子在其的Hasse图顶点集和区间集的元素都均为字典序排列时的矩阵表示。通过构造对应于特征值的一组线性无关的特征向量,证明偏序集P(r,s,k)的Laplace特征值都是整数,并由此验证在该类偏序集上的Brouwer猜测是正确的。基于偏序集复形上的Laplace的定义,定义偏序集张量积P(r,s,k)的区间Laplace算子。在P(r,s,k)的Hasse图的顶点集、区间集和面集的元素均为在字典序排列时,给出该偏序集的区间Laplace算子的矩阵表示。通过构造对应于特征值的一组线性无关的特征向量,证明偏序集P(r,s,k)的区间Laplace算子的特征值都是整数。Hyers-Ulam稳定性不仅在函数方程中起着关键作用,而且在微分方程、积分方程及线性算子等领域有着广泛应用。利用同伦理论,通过构造函数序列,研究适当边界限制条件下的一类迭代方程解的存在唯一性,并由此证明加权图上的两类迭代方程在适当条件下具有Hyers-Ulam稳定性。