相容结构是指一个线性空间上的两个相同类型的代数结构,这两个代数结构对应乘法的任意线性组合还构成原来类型的代数结构.双代数结构是满足一定“相容性”条件的一个代数结构与一个余代数结构.本文主要研究以下内容:相容李代数,相容pre-李代数,相容李2-代数以及它们的双代数结构.　　第一章绪论.首先介绍了本文的背景知识,然后阐述了本文所要研究的主要问题并简要列出了一些主要结果.最后介绍了文中将会出现的一些符号和说明.　　第二章主要构造一类相容李代数.这类相容李代数具有一个非退化不变对称双线性型并且作为线性空间是其两个迷向的相容李子代数的直和.它与相容李代数的标准Manin triple等价.而从相容李代数的标准Manin triple可以得到相容李代数的一个双代数结构,即相容李双代数.本章研究了相容李双代数的一些性质.特别地,研究了上边缘相容李双代数的理论,从中得到了相容李代数的经典Yang-Baxter方程,它是两个李代数的经典Yang-Baxter方程的组合.另外,本章也给出了相容李代数的经典Yang-Baxter方程的一些结果.相容李代数的经典Yang-Baxter方程的一个反对称可逆解可以诱导它上面的一个非退化2-上循环.具有非退化2-上循环的相容李代数上蕴含着一个新的相容性代数结构——相容pre-李代数.本章还从相容pre-李代数构造了相容李代数的经典Yang-Baxter方程的一个反对称解.最后,相容李双代数的研究也可以放在I.Z.Golubchik和V.V.Sokolov在[28]中构造的李代数的经典Yang-Baxter方程的非常数解的框架下,因此它可以看做是在可积系统中的一个应用.　　第三章主要研究相容pre-李代数的双代数.它是在讨论相容paraka¨hler李代数时引入的.相容paraka¨hler李代数是一类特殊的相容李代数,在这类相容李代数上存在一个非退化2-上循环并且作为线性空间是其两个拉格朗日子代数的直和.相容paraka¨hler李代数等价于相容pre-李代数的一个双代数结构,即相容pre-李双代数.本章讨论了上边缘相容pre-李双代数理论,从它得到了相容pre-李代数的经典Yang-Baxter方程,它是两个pre-李代数的经典Yang-Baxter方程的组合.类似于相容李代数的经典Yang-Baxter方程的讨论,本章给出它的一些结果并构造了相容pre-李代数的经典Yang-Baxter方程的一个对称解,还构造了相容pre-李双代数的经典辛double.　　第四章研究相容严格李2-双代数.相容李2-代数可以看作是相容李代数的范畴化.相容严格李2-代数是一类特殊的相容李2-代数,它可以看作是一个阶化的线性空间上的两个严格李2-代数,这两个严格李2-代数的任意线性组合还是一个严格李2-代数.本章主要研究一类相容严格李2-代数.这类相容严格李2-代数具有满足特定性质的非退化不变对称双线性型并且作为线性空间的复形是其两个迷向的相容严格李2-代数的直和.它等价于相容严格李2-代数的标准Manin triple,而后者又等价于相容严格李2-代数的一个双代数结构,即相容严格李2-双代数.相容严格李2-双代数是两个严格李2-双代数,它们的任意线性组合还是严格李2-双代数.与相容李代数的研究类似,本章引入了相容严格李2-代数的严格表示,相容对以及Manin triple等概念.本文研究了相容严格李2-双代数的一些性质.特别地,研究了上边缘相容严格李2-双代数,得到了相容严格李2-代数的一个元素诱导上边缘相容严格李2-双代数的一个必要条件,结合从相容pre-李代数构造的相容李代数的经典Yang-Baxter方程的反对称解,用它从该相容pre-李代数和相容辛李代数构造了相容严格李2-双代数的一些例子.