高阶多项式矩阵的行列式计算是符号计算中的一个重要研究课题。因其矩阵元往往是多变元高幂次多项式，故采用传统的子式展开或Gaussian消元法将带来巨大的中间表达式膨胀，从而导致计算缓慢。本文结合了数值并行插值法与矩形区域剖分，通过一个实例，实现了对高阶多项式矩阵行列式的快速计算，并建立了验证给定大多项式与矩形区域不相交性的递归型算法。作为对Alzer关于是否存在逆Wirtinger不等式的公开问题的回答，本文建立了Wirtinger不等式的离散逆形式，并利用Wirtinger不等式给出了离散不规则样本重建中的一个迭代型算法，这在信号分析中是十分有用的。本文还研究了在金融分析中有着广泛应用的时序分析工具—R滤子，给出了其谱性质，并证明了它是著名的最小二乘法则的一个推广。本文解决了引起广泛关注的具有最佳常数的离散逆H(o)lder不等式问题，这在信息理论中是十分有意义的。本文建立的一些经典分析不等式的离散逆形式，不仅具有最佳常数，而且在证明过程中，我们发展了一些颇具难度的新方法与新技巧，如离散局部分析技巧、双向Abel和处理技巧。　　 本文的主要创新点有:　　 (1)在符号计算中，成功地结合了数值并行插值法与矩形区域剖分。在高阶多项式矩阵行列式的计算过程中，引入数值并行插值运算，降低了中间表达式膨胀，克服了内存瓶颈。同时结合矩形区域剖分，对高阶多项式矩阵行列式的计算结果与给定矩形区域的不相交性进行验证，构造了有效的递归型算法。通过解决一个实际的几何最优化问题，展现了此算法的高效性。　　 (2)回答了是否存在逆Wirtinger不等式的公开问题。在证明过程中，发现了酉空间上一个十分有意义的恒等式。利用Wirtinger不等式的离散形式，我们成功地给出了l2中关于有界带宽函数的离散不规则样本重建的一个迭代型算法，并证明了它的收敛性。　　 (3)在信息理论中，具有最佳常数的逆H(o)lder不等式一直是一个困难和被关注的问题。本文运用凸分析方法和Abel和序列处理技巧，通过建立具有最佳常数的离散逆Chebyshev不等式，给出了H(o)lder不等式的离散逆形式;另外，我们首次建立了具有最佳常数的关于凸凹序列的逆Cauchy-Schwarz不等式，并给出了无穷凹序列的A-G不等式的逆。在酉空间中定义了具有统计意义的向量A积，建立了酉空间上的A积Cauchy不等式，并给出了其积分形式，讨论了二维酉空间上A积Cauchy不等式等号成立的充要条件。作为统计学中的应用，建立了关于PPMCC(Pearson Product Moment Correlation Coefficient)下界不等式的逆形式。　　 (4) Holland提出的关于混合算术几何平均的猜想，最先被Kedlaya于1994年解决，后被Moud和Pe(c)ari(c)推广到混合幂平均。我们运用难度较高的分析技巧，证明了这个混合幂平均不等式的积分形式，部分回答了Kedlaya提出的公开问题。建立了二元函数的Hardy型积分不等式，它是Pacpatte不等式、Copson不等式和Izumi不等式的综合推广。　　 (5)研究了在金融数据分析和疾病人口传播中有着广泛应用的时序分析工具—R滤子，给出了R滤子的谱性质。利用Hilbert正交化理论，研究了R滤子的稳定性，证明了当光滑参数无穷大时，R滤子趋向于最小二乘法则(LSPA)。最后，我们总结了已取得的研究结果，提出了今后值得进一步研究的问题。