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对于无约束优化问题min f(x),x∈其中f:→,目前已有许多有效的求解方法及其相关的收敛性分析。拟牛顿法和信赖域法就是众多有效方法中的两种。它们在每步迭代时均利用目标函数值和-阶导数信息来构造目标函数的Hessian矩阵近似,而不需要计算Hessian矩阵,同时具有收敛速度快的优点。本文首先证明一种修正的DFP方法的全局收敛性,然后提出一种求解非光滑凸优化的非单调自适应信赖域方法。本文结构如下:
第一章,简单地介绍求解无约束优化的拟牛顿方法和信赖域方法,然后给出求解非光滑凸优化的预备知识。
第二章,韦增欣等在文[11]中提出了修正的拟牛顿公式,并分别在文[11]及[12]中给出了修正BFGS方法的全局收敛性和超线性收敛性的证明,但尚未证明修正DFP方法的全局收敛性。本章在适当的条件下,证明上述修正DFP方法在弱Wolfe-Powell线搜索下是全局收敛的。初步的数值计算表明该方法是值得提倡的。
第三章,信赖域方法有较强的收敛性质:不仅全局收敛,而且超线性收敛。非单调技术可以提高寻找到全局最优点的可能性;另外,当计算的函数出现峡谷形时,有助于提高收敛速度。受文[24]和[25]的启发,本章对非光滑凸优化问题提出了一种非单调自适应信赖域方法。在适当的条件下,证明该方法具有全局收敛性和超线性收敛性。