Smash积和Hopf-Galois扩张是Hopf代数理论的两个重要概念,研究Hopf代数的常用方法之一是将其分解为smash积的形式,而Hopf-Galois扩张以简洁的方式反映了Hopf代数的结构。　　本文主要研究两方面的内容:一方面为半单Hopf代数与其可迁模代数的smash积的结构;另一方面为忠实平坦的Hopf-双Galois扩张.　　本文研究了在特征为0的域上,半单Hopf代数H的可迁模代数A的性质,证明了当A有一个1-维理想时,A与H的smash积和H的一个可分的右余理想子代数上的全矩阵代数是同构的.该结论改进了Harrison[51]和Koppinen[67]等的相应结果。我们给出反例说明此结论中H的半单性条件不可缺少.而且对于半单的Hopf代数H及其右余理想子代数N,可能有不同的具有1-维理想的可迁H-模代数A和B,使得A＃H≌B＃H,其中s=dimA=dimB.特别地,当可迁的H-模代数A=κ｛p1,p2,…,pn|pi(Xj)=δij｝是集合X={x1,x2,…,xn}上的函数代数时,H可以分解成相同维数的N11-模的直和，A与H的Smash积A＃H同构于Mn(N11)，其中N11={h∈H|h(1)･p1⊗h(2)=p1⊗h}。　　对于模代数不具有1-维理想的情形,我们证明了在特征为0的代数闭域上,当H是一个半单Hopf代数,A是单的可迁H-模代数时,任取Aop的极小左理想I,令(A,I)是(Aop,I)的稳定子,则smash积A＃H同构于A上的全矩阵代数,并且A是半单的右H*-模代数.这样,我们对此类smash积的研究就归结为对半单代数A的研究.　　在论文的第四章我们研究了忠实平坦的Hopf-双Galois扩张的性质,得到了Hopf-Galois扩张成为Hopf-双Galois扩张的充要条件,并给出了具体的构造,从而推广了Schauenburg在文献[99,104]中关于Hopf-双Galois对象的相关结论。