近年来，在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支—非线性泛函分析.它主要包括半序方法、拓扑方法和变分方法等内容，为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，尤其是在处理应用学科中提出的各种非线性微分方程问题中发挥着不可替代的作用.1912年L.E.J.Brouwer对有限维空间建立了拓扑度的概念，1934年J.Leray和J.Schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场，后来E.Rothe，M.A.Krasnoselskii，P.H.Rabinowitz，H.Amann，K.Deimling等等对拓扑度理论、锥理论及其应用进行了深入的研究，国内张恭庆教授、郭大钧教授、陈文源教授、孙经先教授等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就。　　 然而，随着科技的不断发展，人们发现从非线性问题建立起来的数学模型中所得到非线性微分方程的阶数不一定都是整数阶.如果微分方程的阶数可以取为分数阶，数学模型反而能更好地描述实际问题.鉴于非线性泛函分析的大部分理论可以应用于分数阶微分方程，近几年来，分数阶非线性问题逐渐成为人们研究的中心课题.在研究整数阶微分方程时，众所周知方程的本征值在解决一些方程解的存在性时有很重要的作用;而分数阶微分方程本征值的存在性为探讨分数阶扩散-波方程提供理论依据，因此分数阶微分方程的本征值问题也是值得研究的。　　 本文可以分两部分，首先利用逼近方法来讨论Riemann-Liouville型分数阶微分方程本征值问题;而后利用一个临界点定理给出了二阶脉冲微分方程三解存在定理.主要内容如下:　　 第一章：给出了Riemann-Liouville型分数阶微积分的定义及其简单性质。　　 第二章：则来讨论如下Riemann-Liouville(以下简记作R-L)型分数阶微分方程本征值的存在性，{（Dα0+y）(x)=λxβy(x)，n-1＜α＜n，β≥0，0＜x＜1，（Dα-k0+y）(0+)=bk，k=1，2，…，n=[α]+1，其中[α]为小于α的最大整数.这里分别在1＜α＜2和n-1＜α＜n(n＞2)两种情况讨论，同时给出一个与整数阶微分方程本征值问题的比较，说明分数阶微分方程本征值更为广泛。　　 第三章：来研究整数阶微分方程多解的存在性.首先介绍非线性泛函两种导数定义及它们之间的联系;而后给出一些引理和一个临界点定理，并用来研究如下脉冲微分方程解得存在性:{-u"+u=λf(u)+μg(t,u),a.e.t∈[0,1]，(Δu)｜t=tj=Ij（u（tj）），j=1，2，…，m，αu(0)-βu(0)=0，γu(1)+σu(1)=0，其中0=to＜t1＜t2＜…＜tm＜tm+1=1，（△u）｜t=tj=u（t+j）-u（t-j），另外α，β，γ，σ＞0;f∈C(IR，IR)，Ij∈C(IR，IR)，j=1，2，…，m，这里定义:u(tj)=limt→t-ju(t)，i.e.u(tj)=u（t-j）.λ，μ要求是正实数。