波是能量传播的基本基本形式,波在均匀介质中的传播方程为常系数波方程utt=△u,而波在非均匀介质中的传播方程即为本为所研究的变系数波方程.变系数波方程是当今国际偏微分方程研究的热点和难点,基于现实中的波的传播介质多为非均匀介质,所以对变系数波方程的研究具有很强的理论意义和现实意义.本文主要研究以下两类变系数波方程,并得到了关于能量的新的衰减结论.其中在方程1)中Ω=Rn/B,B为有界单连通域,方程2)中Ω为有界域.算子A,其中矩阵函数A=(Aij(x))在(Ω)上光滑正定,v为Г的外单位法矢量.从物理意义上讲,A由材料所决定.方程2)中常数τ>0,μ1>μ2>0,a(x为(Ω)非负连续函数且在包含Г2的区域Гω取正值.　　 问题1)研究的是波在非均匀介质的散射问题,而问题2)研究的是波在有界非均匀介质中的反馈镇定问题.目前国际上关于问题1)的研究多限于局部变系数(即在某一有界域D外有算子A=△,方程变为常系数形式),关于问题2)的研究仅有常系数形式(即算子A=△,()x∈Rn,).故本文通过引入黎曼几何,运用几何分析将问题1)拓展到完全变系数波方程(即不限定A=△),将问题2)拓展到变系数形式.定义系统1)、2)的能量分别为:通过分析与计算分别得到:　　 在本文中引入的方法有:构造乘子恒等式,运用黎曼几何深入分析.