本文主要有两大部分，第二章和第三章属于几何流部分，剩下的两章为拓扑部分。　　 近期，几何分析中最重要的发展来自于对几何流方程的研究。其中，最重要的成果是：Huisken与Ilmanen用逆平均曲率流解决了黎曼Penrose不等式和曹怀东与朱熹平用Ricci流工具证明了庞卡莱猜想。　　 在第二章，我们主要研究了Hk流下拉普拉斯算子的第一特征值，我们首先得到了这个流下拉普拉斯算子第一特征值的发展方程。　　 最近，双曲几何流受到了广泛的关注。在第三章的内容中，我们将要考虑由..教授和孔德兴教授引进的双曲Yambe流。从偏微分方程的角度来看，这是一个高度非线性双曲方程。我们在这一章中构造了这个方程的三类精确解。我们相信这些精确解对于研究这个方程的适定性以及其它一些基本的性质会有很大帮助。　　 第一类解是具有初始度量为Einstein的解。第二类解是具有轴对称的解。最后，作为这种流的特殊解，我们定义了稳定双曲Yamabe孤子，而且我们得到了这种孤子解所满足的方程。　　 以上是关于几何流部分的内容。下面两章是关于拓扑中一些问题的研究。　　 在第四章中，我们讨论了R3中完备定向极小曲面端的问题，我们给出了这个端的个数的一个上界，而且得到Hoffman和Meeks猜想在一定的特殊条件下是成立的。　　 Hoffman和Meeks猜想：令S是R3中完备定向极小嵌入曲面，满足∫s｜K｜<∞，那么r≤g+2，其中r为曲面S的端得个数，g为S紧化后的亏格。　　 定理C：令M是R3中完备定向极小曲面，满足∫s｜K｜<∞，而且M不是平面，那么它的端得个数r满足2≤r≤4K+λ(g-1)/2K-λ，其中g是M紧化后的亏格，K为M的高斯曲率.　　 定理中的λ为下面的R3中紧域序列D上的特征值问题　　 紧致超曲面的刚性定理一直是一个很重要的课题，其中最引人注目的一个研究成果就是单位球面中紧致超曲面的数量曲率和平均曲率成比例时的刚性定理。　　 在第五章，我们主要讨论实欧式空间中以及Lorentz空间形式中类空紧致超曲面的刚性定理。具体来说，　　 定理E：令M是具有非负截曲率浸入到空间形式Nn+1(c)(c≥0)中的n维紧致超曲面。如果数量曲率r和平均曲率H满足r=f(H)，这里f满足(n-1)(f)2-4nHf’+4nf-4nc≥0，那么M或者是全脐的，或者M=Sn-k×Sk.　　 同样地，我们可以把这个结果推广Lorentz空间形式中的超曲面。　　 定理F：令M是具有非负截曲率Lorentz空间形式Rn+11(c)(c>0)中的类空紧致超曲面，如果M的规范化的数量曲率r与平均曲率满足r=f(H)，这里函数f满足　　 4nHf’+(n-1)(f’)2+4n(c-f)≥0，那么我们得到M是全脐曲面.