丘成桐指出,为了从黎曼流形间的调和映射获取更多信息,往往需要我们假设此映射也是拟共形的.最近,Iwaniec,Kovalev和Onninen研究了两个有限环形区域A和A也之间的调和K-拟共形映射,并将所得到的结果应用到极小曲面的Bjorling问题当中.基于将调和性结合拟共形性一同研究的思想,本文主要研究平面调和拟共形映射的若干分析性质.它主要分为三部分:建立满足普阿松方程的Heinz型不等式;给出满足普阿松方程的K-拟共形映射的双曲偏导数的上界和下界的显性估计;给出亏格为g>1的闭曲面上简单闭曲线的一个刚性结果.在第一章中我们主要介绍了平面调和拟共形映射以及亏格为g>1的闭曲面上的闭曲线同伦问题的一些研究背景、国内外研究现状、研究内容与方法以及主要结果.在第二章中,我们从两方面讨论满足普阿松方程的映射的Heinz型不等式.一方面,我们考虑了满足普阿松方程的二阶连续可微映射ω的Heinz型不等式,其中ω的边界值映射为单位圆周到自身的保向同胚.另一方面,利用一般的Heinz不等式,我们给出了单位圆盘到自身的满足普阿松方程△ω=△ω=g,g∈(?)的K-拟共形映射的Heinz型不等式.所得到的结果推广了Partyka和Sakan关于平面调和拟共形映射的一些经典结果.第三章中,我们讨论满足普阿松方程的拟共形映射的双曲偏导数的上界和下界的显性估计.即:设ω为单位圆盘D到自身的满足普阿松方程△ω=g,g∈(?)(D)的K-拟共形映射.通过建立单位圆盘到自身的单叶调和映射的一般Heinz不等式,我们给出了 ω的双曲偏导数的上界和下界的显性估计;进一步,我们证明了这些估计在||g||∞:= supz∈D|g(z)|趋于零的意义下是渐近精确的.作为应用,我们给出了ω的双曲面积偏差估计以及欧氏长度偏差估计;且证明了这些面积偏差估计在k→ 1+和||g||∞趋于零的意义下是渐近精确的.第四章我们主要给出闭曲面上简单闭曲线的一个刚性结果.即:设S为亏格g≥ 2的闭曲面,且设γ1,γ2为S上的两条简单闭曲线.我们以二次微分所诱导的简单回路的高度和Jenkins-Strebel微分为工具,证明了:若对于S上所有满足标准化条件||g|| = 1的全纯二次微分g,γ1,γ2具有相同的g-高度,那么γ1与γ2同伦.