图论作为计算机与数学的一个交叉学科,被广泛应用到生物、化学、医学、物理等自然学科以及交通运输,数据网络等实际应用问题中。判断一个一般图是否为Hamilton图,即是否存在通过图中所有顶点的圈的问题是图论的经典结构问题,著名的旅行商问题即为Hamilton问题;由于Hamilton问题为NP-困难问题,因此某些特殊图是Hamilton问题的重点研究对象,在此基础上产生了多种扩展问题,例如,特殊图的某些生成树的存在性问题,特殊图的最小路覆盖数等问题。一个图的生成k-末端树即为该图的叶子数不多于k的生成树。显然,图的生成k-末端树能反映出该图含有Hamilton圈（或Hamilton路）的可能性,即生成k-末端树中的k越小,其为Hamilton图（或Hamilton路）的可能性就越大。图的路覆盖即为该图的一条点不交的路构成的生成图,含有路的数目最小的路覆盖即为该图的最小路覆盖,其含有的路的数目称为该图的路覆盖数。同样地,一个图的路覆盖数越小,其含有Hamilton圈（或Hamilton路）的可能性就越大。本论文针对上述问题进行如下研究:Win等人利用K₁,K₂,圈以及长度至少为3的路构造了图的生成k-末端系统,并证明了若一个图含有生成k-末端系统,则该图必含有生成k-末端树;本论文在上述结果基础上,提出了由K₁,K₂,圈,长度至少为3的路以及某些特殊路所构成的生成k-扩展系统,并证明了若一个图含有上述生成k-扩展系统,则该图必含有生成k-末端树;在此基础上,证明了若G是一个阶数为n的连通半无爪图,且G中任意k+1个独立点的度数和至少为n-k,则G必含有生成k-扩展系统,由此可得该图含有生成k-末端树,其中k≥2。本论文在张存铨提出的非Hamilton图中最长圈中的插入点,以及不可插入点的定义基础上,提出最小路覆盖中路的可插入点以及不可插入点,并利用最小路覆盖中路的条数的最小性,获得最小路覆盖的一些性质;本论文利用得出的上述最小路覆盖的性质,结合无K_1,4导出子图的图的结构性质,得出结论:对于一个正整数k,若图G是一个阶数为n的无K_1,4导出子图的图,其任意k+1个独立点的度数和至少为n-k,则该图的路覆盖数至多为k;本论文利用最小路覆盖的性质以及半无爪图的结构特性,获得半无爪图的最小路覆盖数至多为k的充分条件:若图G是一个阶数为n的半无爪图,其任意k+1个独立点的度数和至少为n-k,则该图的路覆盖数至多为k。