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本文主要利用非线性泛函分析中的变分方法，结合临界点理论，研究了在混合边界条件下，二维共振差分方程组边值问题[-△2u(k-1)＝λ(au(k)+bv(k)+Fu(u(k),V(k)),k∈Z[1,N],-△2v(k-1)＝λ(bu(k)+cv(k)+Fv(u(k),v(k)),k∈Z[1,N],u(0)＝△u(N)＝0,v(o)＝△v(N)＝0解的存在性．其中Z[1,N]={1,2…,N}，F∈C2(R2,R1)满足次线性条件lim|s|→∞|▽F(s)|s|＝01▽F=(Fu,Fy，)，△是向前差分算子，即△u(k)=u(k+1)-u(k)，△zu(k)=△(△u(k))．常数a,b，c>0，同时ac>b2。
全文共分三章：
第一章：介绍了差分方程组的研究背景与方法、本文的主要工作以及所得到的主要结果。
第二章：介绍了本文所要用到的有关临界点理论的基础知识，给出了问题(1.2.1)的矩阵形式，从而得到了问题(1.2.1)的能量泛函．同时利用矩阵Kronecker乘积性质，求出了问题(1.2.1)所对应的线性特征值问题的特征值λ(1)，λ(2),…，λ(2N)，并且给出了一些有关特征值的基本结论。
第三章：分别利用Ekeland变分原理、山路定理及鞍点定理等研究了问题(1.2.1)解的存在性与多重性。
本文得到的主要结果为：
定理1.2.1：假设F满足条件(1.2.2)且lim|s|F(s)＝+∞，则当λ<λ(1)并且充分接近λ(1)时，问题(1．2．1)至少存在三个解。
定理1.2.2:假设F满足条件(1．2．2)，则当λ(κ)<λ<λ(κ+1)时，问题(1．2．1)至少存在一个解。
定理1.2.3:假设F满足条件(1．2．2)且lim|s|→∞(▽F(s)·a-2F(s))=-∞，则当λ＝λ(k)时，问题(1．2．1)至少存在一个解 定理1.2.4:假设F满足条件(1．2．2)且lim|s|→0(▽F(s)·s-2F(s))=-∞，如果lim|s|→0F(s)|s|2=0，◇F(O)=0，同时存在δ>0，当|s|≤δ时F(s)≤0，则当λ=λ(κ)(κ≥2)时，问题(1．2．1)至少存在一个非零解。