令β>1,本文对β-动力系统中的相关分形集研究了其Lebesgue测度、Hausdorff维数以及拓扑性质。主要研究内容包含四个方面:1)β-展式下对应的run-length函数的极致发散点构成的集合的Hausdorff维数及拓扑性质。Run-length函数,记为rn（x,β）,即x的β-展式的前n个字符中连续为零的最大个数。考虑与φ有关的极致发散点所构成的集合其中,φ:N → R为单调递增并满足（?）的函数,我们证明该极致例外集在（?）的条件下为空集,在条件（?）下为满维的并且是剩余的。该结果推广了 Li和Wu在β=2时的类似结果。2)Run-length函数中与Diophantine逼近指数有关的非正则集的Lebesgue测度、Hausdorff维数和拓扑性质。首先,对固定的β>1,对于任意x ∈[0,1),我们分别建立了rn（x,β）/n的上、下极限与经典、一致Diophantine逼近问题指数之间的关系,然后,利用该关系成功地将β-动力系统中与run-length函数有关的非正则集转换为有关一致Diophantine逼近指数所对应集合,完全确定了非正则集Ea,b（即rn（x,β）/n的上下极限分别为a,b的点构成的集合,其中,0≤a≤b≤1）的Lesbegue测度和Hausdorff维数。进一步,证明了极致发散集合E0,1是剩余的。同时,对rn（1,β）,将β>1作为变量,得到了类似的结果。3)β-动力系统中,与基本区间长度有关的奇异点所构成的集合的拓扑性质。β-展式中x的n阶基本区间,记为In（x）,指的是由与x的β-展式的前n个字符一致的点所构成的集合。由已知结果知极致例外集D:={x ∈[0,1):（?）入（β）}的Hausdorff维数为零,我们证明集合D是剩余的。这里又给出一个Hausdorff维数及Lebesgue测度为0的剩余集的例子。4)研究β-动力系统中,轨道具有一致回复性质的点构成的集合。在β-动力系统中,Shen和Wang给出了β-变换下轨道无穷多次回复到自身具有固定速率的点构成的集合的大小。本文推广了该结果,给出了β-变换下轨道一致回复到自身具有固定速率的点构成的集合的Lebesgue测度和Hausdorff维数。