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在二十世纪中期,Hopf代数引起许多数学家的兴趣,并不断被广泛的研究,得到许多重要的研究成果,有力促进了量子群的研究和发展。在2002年,V.G.Turave引进了一类新的代数结构:Hopfπ-余代数,它是Hopf代数的一种推广。Virelizier等对Hopfπ-余代数进行了详细的研究,同时π-代数,Hopfπ-代数的概念也被引入和研究。本文在此背景下讨论Hopfπ-代数和Hopfπ-代数上Hopfπ-H-模的一些性质,给出并证明了Hopfπ-代数上的Hopfπ-H-模的结构定理,还证明了Hopfπ-H-模的张量积仍是Hopfπ-H-模。
本文首先是预备知识,介绍了π-代数,Hopfπ-代数,π-H-模,Hopfπ-H-模等有关概念。其次,我们给出两个引理,证明了Hopfπ-代数上的一些基本性质。其一为:若H=({Hα,△α,εα}α∈π,m,u,S)是一个Hopfπ-代数,则对任意的α,β∈π,mα,β,u是余代数同态的充要条件是△={△α)α∈π,ε={εα)α∈π是π-代数同态。还有一个引理为:反极元S={Sα}α∈π是π-代数反同态,且为一族余代数反同态。
然后,我们主要给出Hopfπ-H-模M的余不变子余模McoH1,进而证明McoH1()H仍是Hopfπ-H-模。接着,给出并证明了Hopfπ-代数上的π-H-模的结构定理,即若H=({Hα,△α,εα}α∈π,m,u,S)是一个Hopfπ-代数,M=({Mα)∈π,ψ={ψα,β}α,β∈π,ρ={ρα}α∈π)是一个Hopfπ-H-模,考虑M的余不变子模McoH1和平凡的Hopfπ-H-模McoH1()H,则存在一个Hopfπ-H-模同构M()McoH1()H.作为推论,取群π={1},可得通常Hopfπ-H-模的结构定理。
最后,我们讨论Hopfπ-H-模的张量积,给出张量积的π-H-模结构和一族余模结构,并证明任意两个Hopfπ-H-模(M,ψM,ρM)和(N,ψN,ρN)的张量积M()N仍为Hopfπ-H-模。