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本文围绕万有Teichmüller空间的几何性质展开，将万有Teichmüller空间与单叶函数，拟共形映射，Loewner链理论结合起来，研究了万有Teichmüller空间的不同模型下的测地线唯一性性质，解释了Pre-Schwarz导数模型下单叶性内径的几何意义，给出了在一个区域内局部单叶的全纯(亚纯)函数成为整体单叶函数的充分条件，并得到了区域的Pre-Schwarz导数单叶性内径的下界估计公式。
论文共分五章，第一章是引言，我们将简要的介绍拟共形映射的发展以及应用背景，Teichmüller空间理论，Loewner理论，并叙述本文研究的主要问题及所获得的结果。
在第二章中，我们将讨论万有Teichmüller空间的测地线唯一性性质，研究万有Teichmüller空间不同模型下测地线的唯一性问题是否等价。通过构造具体的反例，我们给予这个问题一个否定的回答，即万有Teichmüller空间的不同模型下测地线的唯一性不具有等价性。
在第三章中，我们将研究以无穷远点为内点的区域的Pre-Schwarz导数单叶性内径，结合万有Teichmüller空间的定义与性质，我们指出以∞为内点的拟圆区域D的Pre-Schwarz导数单叶性内径σI*(D)，即为该模型中一点到边界的最小距离。同时，我们给出了与Ahlfors-Lehto公式相对应的关于Pre-Schwarz导数的单叶性内径的公式，并应用它得到了椭圆外区域的Pre-Schwarz导数单叶性内径的下界估计值。
在第四章中，我们利用了Loewner理论，给出了对于单位圆内局部单叶的全纯(亚纯)函数成为整体单叶函数的充分条件。通过构造函数的拟共形扩张表达式，并结合万有Teichmüller空间的性质与Pre-Schwarz导数单叶性内径的几何意义，得到了拟圆区域Pre-Schwarz导数单叶性内径的下界估计公式。
在第五章中，我们将研究Pre-Schwarz导数与拟共形扩张的问题.这个问题同样和万有Teichmüller空间Pre-Schwarz导数嵌入模型密切相关。如何用Pre-Schwarz导数来判定一个函数能否拟共形扩张，且其扩张后的函数的复特征与Pre-Schwarz导数有何联系，这是一个十分有趣的问题，如何写出它的具体的扩张表达式则是一个十分困难却有意义的工作。在本章中，我们将就上述两方面进行研究。