【摘 要】
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变分不等式是最优化领域当中一个十分重要的研究方向,它可以看作成统一处理多种最优化问题和平衡点问题的自然框架.在很多领域中有许多问题都可以通过转化为变分不等式问题来求解.例如在信号处理、图像恢复、矩阵填充、机器学习等信息技术中的许多问题都可以看作成一个凸优化问题,其中凸优化的一阶必要性条件可以转化为一个算子为单调的变分不等式（此时的算子是梯度）.由于变分不等式中的算子其约束条件并不是固定不变的,而且
【基金项目】
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国家自然科学基金资助项目（No.11771255）； 山东省青年创新团队项目（No.2019KJI013）；
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变分不等式是最优化领域当中一个十分重要的研究方向,它可以看作成统一处理多种最优化问题和平衡点问题的自然框架.在很多领域中有许多问题都可以通过转化为变分不等式问题来求解.例如在信号处理、图像恢复、矩阵填充、机器学习等信息技术中的许多问题都可以看作成一个凸优化问题,其中凸优化的一阶必要性条件可以转化为一个算子为单调的变分不等式（此时的算子是梯度）.由于变分不等式中的算子其约束条件并不是固定不变的,而且不同算子的变分不等式所能解决的问题也不同,因此分析不同算子的变分不等式对解决许多实际问题非常有必要.本文主要针对两种不同算子的变分不等式问题进行研究,分别构造了对应的惯性超梯度算法,并给出了算法的全局收敛性定理,又进一步通过合适的算例进行数值实验验证了算法的有效性.文章总共分为以下五章,具体章节如下:第一章是绪论,主要介绍了求解变分不等式问题的研究背景及意义和国内外研究现状,总结了目前针对变分不等式问题研究的主要内容以及现有求解该问题算法的优缺点,最后概述本论文研究的主要内容.第二章为预备知识,主要介绍了文章中用到的常用符号和基本定义以及在论证过程中用到的相关引理.第三章主要针对变分不等式提出一种新的投影型算法.针对所涉及的算子是利普希茨连续和伪单调的情况我们将惯性算法与超梯度算法相结合,算法优化了步长的选取,在步长不需任何有关利普希茨常数时算法依然可行,且该算法全局收敛并满足-线性收敛.最后我们通过给出算例进行模拟实验将该算法与相关算法进行对比,数值实验结果验证了算法的有效性.第四章是基于算子满足非利普希茨连续和伪单调时改进的一种自适应性超梯度投影算法.该算法的思想主要来源于第三章中算子的约束条件,若算子由利普希茨连续弱化为非利普希茨连续时该如何构造合适的算法求解变分不等式并且可以实现全局收敛.以此为出发点,受Trinh算法步长选取的启发,我们将惯性项加入该算法,在非利普希茨连续的情况下分别分析了步长单调下降趋于零和单调下降趋于常数(9(（9>0）时算法的收敛性,在两种情况下分别给出了全局收敛性定理.最后给出算例并进行模拟实验验证了我们算法有更好的性能.第五章是总结与展望,总结了本文的研究内容和研究成果,其次又分析了当下仍然存在的问题并进一步提出了研究展望.
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