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模糊相等[1](又称为相等关系[2，3]、模糊等价关系[4]、相似关系[5，6]和模糊算子[7，8])以及模糊函数在范畴理论和模糊控制等领域都得到成功应用.1999年，M.Demirci[9]改进了模糊相等[1]的定义，并在此基础上给出了模糊函数的新定义，讨论了它的一些性质；他引入了模糊函数的梯度[10]的概念，并给出了模糊函数一些刻画，得到了它的一些本质属性；利用不同的模糊函数定义了模糊运算，给出了两种不同的模糊群—smooth群[11]和Vague群[12]的概念，首次将模糊相等和模糊函数的概念引入到了模糊代数中.本文就是在M.Demirci的工作的基础上展开的讨论.上述两种模糊群的引入开辟了模糊代数研究的新思路，使得我们能够在经典集合上建立模糊运算，从而建立模糊群的概念.并且这两种模糊群的建立脱离了经典代数结构的限制，但又与它有密切的联系.在本文的第一章中我们得到了如下重要的结果：
定理如果(X，·)是smooth群，则集合X的商集X/EX在上述运算下做成群(X/EX，(+)).
对于Vague群M.Demirci[12]也诱导出了经典群.对于M.Demirci的工作值得肯定，但是仍然存在问题，第一章中我们得到强smooth群与smooth群等价，使smooth群的研究大大简化.
定理(X，·)是smooth群当且仅当(X，·)是强smooth群.定理设(X，·)是smooth群，那么μ.(a，b，c)≥θμ.(a-1，c，b)≥θμ.(c，b-1，a)≥θ.M.Demirci[10]虽然引入了模糊函数的梯度的概念，但是并没有继续将其运用到smooth群的研究中.利用梯度的思想，我们改进了模糊相等和模糊函数的定义，使得它们定义更加合理.
2001年，M.Demirci在上述smooth群的基础上考虑了smooth群的子群和同态[13]的概念，第二章中我们首次引进了smooth正规子群的概念，进一步给出了smooth商群的定义(由于梯度的引入smooth商群较[14]中的smooth商群更具合理性)，并得到了smooth正规子群的一些重要结果.
定理设Z是smooth群(X，·)的smooth正规子群，则其全体陪集构成的集合在上述模糊相等和运算下仍做成smooth群.
定理若Z是smooth群(X,·)的smooth正规子群-X/-Z≌X/Z.
定理设Y和Z是smooth群(X，·)的smooth子群，且Z为X的smooth正规子群，那么ZY是X的smooth子群.
第三章我们首先继续研究了强模糊函数和极好模糊函数的一些深入的性质，获得了一些漂亮的结果.
定理设F:X→Y，D:Y→Z分别是基于模糊相等EX和EY及模糊相等EZ和EY上的可扩展的通常的函数，ρ和τ分别是由F和D诱导的强模糊函数，则τ。ρ是由D。F诱导的强模糊函数.
M.Demirci只是利用了经典函数研究了smooth群的同态，因此，第三章中我们利用模糊函数定义smooth同态，获得了一些结果.
定理设(X，·)和(Y，。)是smooth群，f:X→Y是smooth同态，(1)若A是smooth子群，记f(A)={a′∈Y|μf(a，a′)≥θ，a∈A}，则f(A)是(Y，。)的smooth子群.
(2)若A是smooth正规子群，且f是smooth满同态，则f(A)是(Y，。)的smooth正规子群.
定理设(X，·)和(Y，。)是smooth群，f:X→Y是smooth同态，(1)若B是(Y，。)的smooth子群，记f-1(B)={a∈X|μf(a，a′)≥θ，a′∈B}，则f-1(B)是(X，·)的smooth子群.
(2)若B是(Y，。)的smooth正规子群，且f是smooth满同态，则f-1(B)是(X，·)的smooth正规子群.
定理设(X，·)和(Y，。)是smooth群，f:X→Y是smooth同态，则f为smooth单同态当且仅当Skerf={a∈X|EX(a，eX)≥θ}.
Ⅱ第一章中我们曾指出smooth群可诱导出经典群，而在第四章中我们考虑了这个问题的反问题.给定经典群，通过群以及群上的模糊正规子群定义的模糊相等诱导出smooth群.我们获得了一类smooth群的构造定理:
定理设R是群G的模糊正规子群且R(e)=1，则G在上述模糊相等和模糊运算下做成smooth群.
深入研究了此类smooth群的性质，并在此定理基础上给出了smooth群的几个例子，极大地丰富了smooth群理论，加深了对smooth群的认识.
定理设R是群G的模糊正规子群且R(e)=1，则G/R≌G/Rθ.定理设GR是smooth群，a,b∈G，则|aRθ|=|bRθ|.
第五章我们通过将smooth群和Vague群推广来研究了smooth群和Vague群之间的联系.
定理(1)极好∧-Vague群是smooth群；(2)J是强独点的smooth群是极好∧-Vague群；(3)smooth群和Vague群是GF-模糊群；(4)具有性质(*)的Vague群是极好∧-Vague群.