【摘 要】
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反问题在地球物理、工业控制、医学成像等研究领域有着非常广泛的应用.反问题具有重要的理论意义和应用价值,因此反问题的数值求解受到了广泛的关注.近年来,反问题已经成为应用数学中发展最快、最具有挑战性的领域之一.在本论文中,我们针对两类反问题设计了高效的交替方向乘子法（ADMM）型算法,并对算法的收敛性、迭代复杂度等进行了理论分析.本论文的主要研究思路和取得的主要研究成果如下:1.带偏微分方程（PDE）
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反问题在地球物理、工业控制、医学成像等研究领域有着非常广泛的应用.反问题具有重要的理论意义和应用价值,因此反问题的数值求解受到了广泛的关注.近年来,反问题已经成为应用数学中发展最快、最具有挑战性的领域之一.在本论文中,我们针对两类反问题设计了高效的交替方向乘子法（ADMM）型算法,并对算法的收敛性、迭代复杂度等进行了理论分析.本论文的主要研究思路和取得的主要研究成果如下:1.带偏微分方程（PDE）约束的优化问题.针对带有箱型控制约束的椭圆型PDE约束优化问题,我们提出了一种高效的多层交替方向乘子法（mADMM）.mADMM算法求解问题的误差包括有限元离散误差和求解离散子问题的迭代误差,这两种误差均可看作不精确求解无穷维子问题的误差.因此,mADMM算法可以看成函数空间中的一种不精确ADMM（iADMM）算法.我们在理论上证明了 mADMM算法的全局收敛性以及o（1/k）的迭代复杂度.具体地,受iADMM算法在解PDE约束优化问题上的良好数值表现的启发,我们首先在函数空间中给出iADMM算法的算法框架.其次,受多重网格法与牛顿法结合在求解非线性偏微分方程上的高效性的启发,我们将多重网格策略与iADMM算法结合,对iADMM算法的子问题采用逐渐加细离散网格的策略进行数值离散.最后,对离散的子问题选取有效的不精确方法进行求解.这样,我们给出了“优化-离散-优化”的数值求解策略来求解PDE约束优化问题.数值实验结果表明,mADMM算法可以有效地减少计算代价、加快计算速度.2.图像恢复中的大规模病态反问题.针对图像恢复中的近视反卷积问题,我们提出了一种全变差（TV）模型,并且针对该模型给出了一种高效的基于线性化投影法（LAP）的交替方向乘子法（ADMM-LAP）.我们在理论上给出了 ADMM-LAP算法的收敛性分析和每次迭代的计算复杂度分析.与通常的点扩散函数（PSF）已知的图像恢复问题不同,由于三维（3D）成像过程的特殊结构,我们仅知道PSF的部分信息.因此,我们不仅需要对图像进行恢复,同时还需要对PSF进行估计.这类问题称为近视（轻度盲）反卷积问题.带TV正则化项的图像近视反卷积问题是一个带有等式约束的非凸非光滑且目标函数耦合的优化问题.首先,为了处理TV正则化项的不可微性,我们采用ADMM算法作为外层优化算法.其次,针对ADMM迭代中出现的带有逐点界约束的非凸耦合子问题,我们采用LAP算法的一种变形作为内层优化算法.数值实验结果表明,与现有的算法相比,ADMM-LAP算法的收敛速度更快并且能够得到更准确的恢复图像和PSF.
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