【摘 要】
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非线性演化方程是描述各种复杂自然现象的重要数学模型,长期以来其研究在数学、物理等诸多学科领域都占据着重要地位。随着计算机科学的飞速发展以及计算机代数系统的不断完善,符号计算早已成为人们求解非线性演化方程精确解的有力工具和手段。本文在数学机械化思想的指导下,基于符号计算和计算机代数系统Maple,对非线性演化方程特定类型高阶波解的机械化算法开展了较为深入的研究。研究内容包括:第一部分通过重新定义平衡
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非线性演化方程是描述各种复杂自然现象的重要数学模型,长期以来其研究在数学、物理等诸多学科领域都占据着重要地位。随着计算机科学的飞速发展以及计算机代数系统的不断完善,符号计算早已成为人们求解非线性演化方程精确解的有力工具和手段。本文在数学机械化思想的指导下,基于符号计算和计算机代数系统Maple,对非线性演化方程特定类型高阶波解的机械化算法开展了较为深入的研究。研究内容包括:第一部分通过重新定义平衡约束条件来获得非线性演化方程更丰富的有限级数解。吴消元法的诞生,为非线性代数方程组的求解提供了强有力的工具和手段。尤其是伴随着吴消元法的机械化实现,国内掀起了研究构造非线性演化方程精确解的直接代数方法的热潮,最典型的方法如双曲正切方法及其各种推广和变形。此类方法通过平衡方程中的最高非线性项与最高导数项来确定解的阶数。然而,当方程中出现多个相同的可能最高阶数时,以往的做法都是忽略重复阶数,这势必会漏掉一些平衡情况和一些可能的有限级数解。本文重新定义了平衡约束条件,对原有的阶数平衡条件进行了扩展,并提出了三类平衡点。由于求导的缘故,解的阶数会同时出现在方程中最高阶项的指数和系数中。本文综合考虑这些指数和系数,通过考虑更多的平衡可能性,从而确定出解新的阶数,进而获得方程更高阶的新解。通过将我们新定义的阶数平衡条件和算法应用到一系列子方程方法中,获得了一些非线性演化方程不同类型的阶数更高的有限级数解。第二部分通过直接代数方法来构造非线性演化方程特定类型的高阶波解以及不同波之间的相互作用解。直接代数方法已广泛应用于非线性演化方程的求解。该方法通过先验假设方程的解具有特定的形式,将非线性演化方程的求解问题简化为非线性代数方程组的化简和求解问题。其主要困难在于所得到的非线性代数方程组的规模通常十分庞大,计算机无法在有限的时间和内存条件下对其直接进行求解。本文将分组并行和继承求解策略与直接代数方法相结合,这样可有效降低非线性代数方程组的规模,进而可显著提高非线性代数方程组的求解效率,从而获得阶数更高或更复杂的相互作用解。在此基础上,本文基于Maple编写了推导非线性演化方程特定类型的精确解的软件DAM,该软件提供了计算、绘图等一系列友好接口。为了说明DAM的有效性,本文应用该软件求解不同类型的非线性演化方程,并成功获得了多种不同种类的高阶波解以及这些波之间的相互作用解。
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