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设{an｝是阶为1的算数序列.考虑如下形式的指数和:S(α，X)=∑n≤Xane（αn）.这个问题最早由Hardy和Littlewood在1914年提出.S（α，X）关于α的平凡估计是O(X1+ε)，最好的一致估计是O(X1/2+ε).
当an取SL(2，(Z))上模形式或自守形式f的标准化傅里叶系数λf(n)时，许多人研究了这一问题.令f是SL(2，(Z))上权为k的全纯尖形式.λf(n)表示f的标准化傅里叶系数:f(z)=∞∑n=1λf(n)n(k-1)/2e(nz)， Imz＞0.Wilton在1929年证明了∑n≤Xλf(n)e(αn)(《)εX1/2+(ε)关于α一致成立.这是最好的一致估计结果.如果考虑非一致估计，则对某些α可以得到很大的改进.
类似形式的指数和估计与解析数论中的很多重要问题都密切相关.例如，利用Wilton的估计，Titchmarsh得到了L-函数L(s)=∑n≥1ann-s的平方均值估计:∫X-X|L(1/2+it)|2dt(《)εX1+ε.
在本文中，我们考虑带有平滑因子的指数和∑n(φ)（n/X）λf（n）e(αn)的非一致估计.对于一些特殊的α，我们得到了速降的估计，这些结果优于O（X1/2+ε）.我们使用的数学工具主要包括Dirichlet有理逼近，Voronoi求和公式和Bessel函数的近似估计.
定理1.1设(φ)(x)∈C∞(0.+∞)是支集为[a,b]的无穷可微函数.令α=a/q+λ，其中（a，q）=1，且|λ|＜1/X，q2＜X1-ε，则∑n＞0λf(n)(φ)（n/X）e(αn)(《)f，H，εX-H对任意H＞0成立.
当α为有理数时，由定理1.1可以立即得到下面的推论.
推论1.2设(φ)(x)∈C∞(0.+∞)是支集为[a,b]的无穷可微函数.设(a,q)=1，且q2＜ X1-ε，则∑n＞0λf(n)(φ)（n/X）e（a/qn）(《)f，H,εX-H对任意H＞0成立.
当q=1时，推论1.2变为∑n＞0λf(n)(φ)（n/X）(《)f,HX-H对任意H＞0成立.
对无理数α，若存在最小的(τ)(α)，使得对任意μ＞(τ)（α），|α-a/q|＜q-u只有有限多个解，则(τ)(α)称为α的逼近指数.当(τ)(α)＞2时，利用定理1.1可得如下结论:
推论1.3对任意固定超越数α，若(τ)(α)＞2，则存在序列Xk→∞，使得∑n＞0λf(n)(φ)（n/Xk）e(αn)(《)f，H,X-H对任意H＞0成立.