【摘 要】
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求解线性差分方程是符号计算的一个基本问题,具有广泛的应用。线性差分方程符号解的构造方法及其应用已被Abramov,Petkovˇsek,van Hoeij等人广泛研究。此外,Karr考虑了差分域（F,σ）的扩张（F（t）,σ）,引入ΠΣ-域求解一阶线性差分方程的符号解,并用来寻找有限和的闭形式或证明这种形式的存在性,有效解决了一阶递推序列如调和数的求和问题。Bronstein将此算法推广到更一般的
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求解线性差分方程是符号计算的一个基本问题,具有广泛的应用。线性差分方程符号解的构造方法及其应用已被Abramov,Petkovˇsek,van Hoeij等人广泛研究。此外,Karr考虑了差分域（F,σ）的扩张（F（t）,σ）,引入ΠΣ-域求解一阶线性差分方程的符号解,并用来寻找有限和的闭形式或证明这种形式的存在性,有效解决了一阶递推序列如调和数的求和问题。Bronstein将此算法推广到更一般的域中,并能够求解高阶线性差分方程的符号解。本论文引入二元差分域概念,研究二元差分域上形如aσ（f）+bf=g的一阶线性差分方程的多项式解f,式中a,b,g是二元域F（α,β）上的已知多项式,α,β是域上代数无关的超越元,σ是域F（α,β）上满足σ（α）=β,σ（β）=uα+vβ的域同构,其中u 0。通过多项式次数分解,我们得到差分方程aσ（f）+bf=g的多项式解f存在时的性质,然后根据待定系数法求得多项式f,并给出了这类差分方程多项式解在符号求和方面的应用。论文一共分为五章:第一章简要介绍了差分方程多项式解、有理解、超几何解的研究背景与现状,以及本文主要工作;第二章介绍差分域及σ-微分域的概念和性质;第三章简要介绍Karr算法及Bronstein算法;第四章综述差分方程多项式解的求解方法;第五章讨论二元差分域（F（α,β）,σ）上一阶线性差分方程aσ（f）+b f=g的多项式解。
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