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量子涡漩的研究已有一段很长的历史，最早起源于对液态氦和超导体的研究．科学家发现如果把超流体(superfluids)放在一个密闭的环里，超流体会一直流下去，而没有摩擦．超流体的例子可以在超导体中找到，例如液态氦和玻色—爱因斯坦冷凝体就是超流体．1955年美国物理学家费曼(Feynman)预言超流体的这种循环性是由于量子奇点的排列，称为量子涡漩．1957年Abrikosov早在实验成功前10年就预言超导体存在涡漩品格．从此，量子涡漩的研究受到全世界各国科学家的高度关注，并取得了巨大的进展．2001年诺贝尔物理学奖授予Cornell，Weimann和Ketterle三位科学家，2003年授予Ginzburg，Abrikosov和Leggett三位科学家以奖励他们在超导体领域中对量子涡漩研究取得的突出成果。
杜强教授在文献[28]中提出各向异性的Ginzburg—Landau超导模型．将简化的自由能密度
Euler—Lagrange方程解的涡漩的结构，和当外磁场变化时，怎样描述涡漩一直都是物理学家和数学家关心的热点问题．到目前为止，对各向异性Ginzburg—Landau方程涡漩的研究还比较少，与文献[30]—[32]，[60]—[64]相比，本文的模型比较复杂，文献[30]—[32]，[60]—[64]的模型是本文的特例．由于模型的不同，泛函J(u，A)变得比较复杂，对J(u，A)的分析也发生了较大的变化．此外，与已有结果相比，我们还采用了不同的证明方法和技巧，得到一些新的结论．现在我们仔细分析一下。
我们推导了London方程．London方程在描述下临界磁场Hc1时起到重要的作用．与文献[30]—[32]，[60]—[64]不同，我们首先得到一个弱形式的London方程．下面的方程称为London方程导体外，也就是物理上的迈纳斯现象．
(ii)当Hc1+kε3≤hex≤Hc1+Oε(1)时，方程有带涡漩的解．即，从Hc1开始，磁场部分地穿透到超导体内部，而且随着磁场的增高，穿透程度也增加；一直到达Hc2时磁场才完全穿透超导体，这时，超导体过渡到正常态．
我们分析了涡漩的结构和性质，发现每个涡漩互不相交且拓扑度都是+1，并且这些涡漩都不会落在区域的边界上．
我们研究了混合状态Hc1+kε3≤hex≤Hc1+Dε(1)下，带有涡漩的解的渐近性质，发现他们的极限函数是一类广义的调和映照。
我们把找到的局部极小元推广到整个空间，得到全局的极小元，即Euler—Lagrange方程的整体解(详细内容请参考第四章和第五章)．
杜强教授看过本文第一部分后，对我们得到的结果给予了肯定和好评．杜强教授认为以本文为基础，可以引出许多有意义的后继工作．
本文主要由以下几个部分组成：
第一章介绍模型的物理背景，数学模型和研究历史．
第二章介绍本文常用的基础知识。
第三章推导了模型的London方程和重正则化能量，得到模型的下临界磁场Hc1的取值，发现Hc1的取值与模型系数矩阵的特征值有关．我们还找到了Euler—Lagrange方程在集合DM={F(u)≤C｜logε｜}中的解，验证了物理实验的结果，并汪明了局部解的渐近性态．
第四章利用坐标变换的技巧得到了Euler—Lagrange方程的没有涡漩的整体解。
第五章推导了Euler—Lagrange方程的整体解，不管这个解有没有涡漩．我们还得到了解的涡漩的性质．
第六章研究一类不带磁场的Ginzburg—Landau方程的解与重正则化能量极小元的关系，证明了存在Euler—Lagrange方程的解，其极限函数以重正则化能量的极小元为涡漩。