二十世纪四十年代维纳创立控制论这门学科以来，控制论方面的研究得到迅速发展，由集中参数系统控制问题发展到分布参数系统控制问题，而偏微分方程最优控制问题（以下简称最优控制问题）作为后者的重要研究对象，已被广泛应用于生产制造、生态环境、食品医疗以及社会经济等领域.通常我们很难求得最优控制问题的精确解，于是开发高效的数值方法对于它的成功应用至关重要.尽管有限元和混合有限元方法已被广泛应用于最优控制问题的数值求解，且基于多套网格的自适应算法在此类问题的求解上亦趋于成熟，但在保持自身独特优点的同时谱方法与自适应谱元法是否也能被广泛应用于最优控制问题的数值计算尚不清楚.尤其是对区域不规范或解不光滑的控制问题，自适应谱元算法是否也能做到高精度、快速收敛以及所求未知量相对较少则更需要进一步讨论.为从事这些方面的研究奠定基础，并为控制问题提供高效的数值求解方法，本论文讨论控制或状态受限偏微分方程最优控制问题的谱方法逼近，并将主要内容和创新之处按章概括如下:　　第一章综述偏微分方程与随机偏微分方程最优控制问题的研究历史与现状，并给出证明控制问题最优解存在唯一性的一般思路以及推导最优性条件的若干结论与方法.　　第二章考虑状态受限椭圆方程最优控制问题的谱方法逼近，通过两种方便易懂的方法来推导控制问题和相应离散控制问题的最优性条件，借助这些条件得到先验误差估计，并基于后验误差分析给出误差估计子.据我们所知，目前关于最优控制问题谱方法逼近后验误差的下界估计还很少，这里我们分别给出后验误差上界和下界的估计方法.尽管理论上并没有证明出后验误差估计子与总体误差的等价性，但数值实验表明我们所构建的估计子完全可以作为一个等价的指示子来使用.　　第三章研究控制受限抛物方程最优控制问题的时空谱方法逼近.在已有的相关工作中，对时间方向采用的是有限元或差分方法离散，而在空间方向上采用的是有限元或谱方法离散.特别是当空间上采用谱方法而时间上采用差分法时，两个方向上的逼近精度将会不匹配，即空间方向上的高精度与时间方向上的低精度.为改变这种不匹配现象，我们对时间和空间方向均采用谱方法逼近，并给出先验误差估计.数值实验显示当解充分光滑时所构建的方法在时空方向上均能达到谱精度，而当解只有有限正则性时则谱精度达不到.　　第四章我们讨论控制和状态双受限最优控制问题的谱方法计算，给出最优性条件的两种推导方法，并借助最优性条件与辅助系统为该问题构建两类基于后验误差分析的误差估计子.第一类估计子适用于高维情形，我们给出相应后验误差估计的上界证明.对第二类估计子，我们只就一维情形进行讨论，并给出相应后验误差估计的上界和下界证明.指示子的性能对于发展自适应方法至关重要，构建第二类估计子的意义在于与第一类估计子相比其计算非常简单，只用到离散解关于基函数的最后两个坐标，并且借助此类估计子我们可给出后验误差的上界和下界估计，这对于发展自适应谱元方法求解高维情形控制问题很有启发.数值实验充分表明这两类后验误差估计子能很好地指示总体误差的变化.　　第五章分析状态受限流体最优控制问题的谱方法逼近，并采用前面章节提供的方法得到控制问题和离散控制问题的最优性条件.对状态L2范数受限问题推导后验误差的上界和下界估计，并据此给出误差估计子.对状态H1范数受限问题推导先验误差估计，并给出后验误差分析的上界证明.通过数值实验验证方法的收敛性，并展示后验误差估计子的表现.