许多学者都对三元二次型m12+m22+m32的性质非常感兴趣。设x是一个正实数。在1963年,Vinogradov [19]和陈景润[4]分别独立地研究了三维球u12+u22+u32≤x中的格点个数问题,并且得到了以下渐近公式后来,上式余项中的指数2/3被Chamizo和Iwaniec [2]改进到29/44,后又被Heath-Brown[8]改进到21/32。最近,一些学者开始用不同的方法研究关于三元二次型的问题。令π3(x)表示满足下面条件的整数点的个数,(m1, m2, m3) ∈ Z3 且 m12+ m22 +m32= p ≤x.Friedlander 和 Iwaniec [5]证明了π3(x)～4π/3 x3/2/logx.这个结果可以看作是素数定理的一个推广。令∧(n)表示von Mangoldt函数,即郭汝庭和翟文广[6]研究了下述和式的渐近公式,S(x):=∑ ∧(m12+ m22 + m23)m12 +m22 +32≤x并且得到S(x) = 8C3I3X3/2 + O(x3/2log-A x),其中A > 0是一个固定的常数,且令f是在SL2(Z)上的Maass尖形式,其拉普拉斯特征值是1/4+υ2。将f正规化,令其傅里叶系数首项为1,那么f的傅里叶展开式为其中Ks(y)是K-Bessel函数,s=1/2+it。然后,我们定义关于f的L-函数为该级数在 Re s > 1 时是收敛的(见[12])。应用 K. Chandrasekharan 和 R. Narasimhan[3]中的一个定理,我们可以得到∑[λ(n)|2< 0是一个常数。2016年,G. Zaghloul[22]改进了胡的结果,他证明了T(x)< min{2k-1, k2 + k - 2}时,令S(x) = ∑λ(m1k + …+msk)∧(m1k+ …+ msk).m1k+…+msk≤x那么我们有S(x) = O(xs/k exp(-c’(?))),其中c’是一个大于0的常数。定理3.当s ≥ 3时,令π∧(x)=∑∧(m12+…+m2s).m12+…ms2≤x那么我们有π∧(x) = 2sCsIsxs2/s+ O(x2/s log-Ax),其中A是一个大于0的常数,且为了证明以上定理,我们将采用经典的圆法。由于我们不知道关于Maass尖形式的Ramanujan猜想是否成立,所以只能用Maass尖形式的傅里叶系数的均值估计。