本文除了概述黎曼猜想、仿射轨道、饱和数、仿射线性筛法及素数分布的一些猜想和结论外,主要得到关于Q(x,k)和整数核的一些新的猜想和结论,即第一章的猜想1.8、1.9和定理1.30,以及第三章的定理3.2、3.3、3.8及3.9。黎曼猜想至1859年被提出至今仍未得到证明,黎曼zeta函数的非显然零点包含着关于素数的重要信息；另外黎曼猜想已被证明存在非常多的等价命题,涉及到初等数论、解析领域、代数领域及遍历论等学科领域；最后假设其成立的情况下,我们更能得到大量的结论,更有很多的等价命题在无条件下得到证明,所以黎曼猜想具有重大的意义。第一章便讨论了黎曼zeta函数的解析严拓、黎曼猜想及其等价命题和假设其成立所得的结论,章末我们得出一些关于Q(x,k)的猜想。由于黎曼猜想与素数有重要联系,所以在第二章,我们便关注部分素数分布的问题,如狄利克雷定理和Schinzel猜想H等,最后可推广为一类问题,即,仿射轨道和饱和数问题,然而我们关心的是其中的仿射线性筛法。最后,在第三章里,首先简单介绍了素数定理,最后利用初等方法和解析方法证明了一些关于整数核的新结论。