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数论中的很多著名问题都可以归结为求某个算术函数a（n）的和函数的渐近公式,即求出和函数（?）的主项,并尽可能好的估计其余项的阶.例如自然数中的素数分布问题归结为讨论∧（n）函数的和函数,Dirichlet除数问题归结为讨论d（n）的和函数,Gauss圆问题即圆内整点问题归结为讨论r（n）的和函数,自然数中的无平方因子数分布问题归结为讨论μ2（n）的和函数等.在解析数论中,对算术函数a（n）的和函数进行估计的常见类型有:（1）Dirichlet卷积和（?）.（2）转移乘积和（?）其中h1,h2,…,hk真是整数.（3）整多项式序列上的高次均值和（?）其中k≥ 1,f（n）是整系数多项式.我们常见的除数问题可以看作Dirichlet卷积和型.设ζ（s）为Riemann zeta函数,当Res>1时,（?） Landau,Voronoi,Hardy,Littlewood 等研究了（?）,其中Pk（x）是有关x的k-1阶多项式,θA是一个小于1的数.我们熟知的著名Chowla猜想可以看作转移乘积和型.设λ（n）为Liouville函数,对于任意不同的自然数h1,…,hk,k≥1,当X→∞时,（?）.Matomaki-Radziwill-Tao[44]研究了在均值意义下的Chowla猜想,得到如下结果（?）,其中H=H（X）≤X,k是固定的,当X→∞,H（X）→∞.对于整多项式序列上的高次均值和类型,在数论中也有很多研究.比如,Hecke,Selberg,Rankin,Moreno,Shahidi,Fomenko,Lau,Wu,Lu 等研究了全纯尖形式f（z）在尖点∞处的傅里叶展开的的正规化傅里叶系数λf（n）的高次均值估计,（?）,当k为奇数时,Pk（x）三0;当k为偶数时,P2（x）,P4（x）,P6（x）,P8（x）分别是有关x的0,1,4,13阶多项式.对自守尖形式的傅里叶系数进行和估计,是一个很重要的课题,在数论中有很多应用.比如,尖形式傅里叶系数的振荡性及分布规律,亚凸界估计及唯一遍历性等.在本文,我们主要考虑全模群Γ=SL（2,Z）上的Heck-Maass尖形式以及全纯尖形式的傅里叶系数的三种类型和估计:关于Hecke-Maass尖形式傅里叶系数的Dirichlet卷积和,关于全纯尖形式傅里叶系数的转移乘积和的均值,以及全纯尖形式的傅里叶系数在算术级数中的二次均值估计的应用.首先,关于Hecke-Maass尖形式傅里叶系数的Dirichlet卷积和问题,我们研究的主要内容是:给出Hecke-Maass尖形式f（z）的傅里叶系数λf（n）的Dirichlet卷积和的上界估计,即（?）.对于k=1的情形,Jiang-Lu[33]给出了目前最好的结果（?）以及改进由Hecke-Maass尖形式f（z）生成的Rankin-Selberg L-函数L（s,f×f）系数的λf×f（n）的Dirichlet卷积和估计,即（?）.对于k=1的情形,由Rankin-Selberg方法得到目前最好的结果（?）,其中,Cf是具体的常数.我们的研究思路主要是利用Jiang-Lu[34]的一类L-函数系数的一般性求和公式,作为应用,我们考虑有关Hecke-Maass尖形式的傅里叶系数的Dirichlet卷积和问题,我们的结果如下.定理0.1 设λf（n）是全模群SL（2,Z）上Hecke-Maass尖形式f（z）在尖点∞处的傅里叶展开的正规化傅里叶系数,λf×f（n）是全模群SL（2,Z）上Hecke-Maass尖形式f（z）生成的Rankin-Selberg L-函数L（s,f×f）的系数.定义（?）,k≥2.对任意的∈>0,我们有（?）,当 4 ≤k ≤ 20 时,（?）,当k>20时,（?）,其中隐含常数依赖于f和∈.定义（?）,k>2.对于任意的∈>0,我们有（?）其中Nk（A）的表示形式为xPk（logx）,Pk（x）是阶为k-1的多项式,O（·）中的隐含常数依赖于f和∈.其次,关于全纯尖形式的傅里叶系数的转移乘积和的均值问题,我们主要研究全模群SL（2,Z）上的全纯尖形式的傅里叶系数λf（n）的Dirichlet卷积的转移乘积和的均值,即（?）我们的研究思路主要来源于Baier-Browning-Marasingha-Zhao[5]的有关d3（n）的转移乘积和的均值估计,我们的研究结果如下.定理0.2 设λf（n）是全模群SL（2,Z）上全纯尖形式f（z）在尖点∞处的傅里叶展开的正规化傅里叶系数,定义（?）,k≥2.对于∈>0,1≤H≤N,我们有（?）当k≥4时,（?）,其中隐含常数依赖于f和∈.最后,我们研究全纯尖形式的傅里叶系数在算术级数中的二次均值估计的应用.我们首先利用函数L（s,χ）,L（s,sym2f（?）χ）,ζ（s）的亚凸界估计以及均值估计来研究全纯尖形式的正规化傅里叶系数λf（n）在算术级数中的二次均值.然后,利用Erdos-Ivic[15]中对具有平方核的函数的处理方法,研究全纯尖形式的正规化傅里叶系数λf（n）的平方与具有平方核的函数的转移乘积和,我们的结果如下.定理0.3 设λf（nn）是全模群SL（2,Z）上全纯尖形式f（z）在尖点∞处的傅里叶展开的的正规化傅里叶系数.n=q（n）s（n）,（q（nn）,s（n））=1,其中s（n）,q（nn）分别表示n的素因子分解中素因子次幂大于等于2的部分和素因子次幂为1的部分.a（n）是一个具有平方核的函数,满足a（n）=a（s（n））,a（n）《n∈.对于任意的∈>0,我们有（?）,其中C是一个可以计算的常数,O（·）中的隐含常数依赖于f和∈.